3.8. Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение определенного интеграла.

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Что такое первообразная для функции?

4. Приведите формулу Ньютона-Лейбница.

5. В каких случаях целесообразно использовать формулы численного интегрирования?

6. Используя геометрическую интерпретацию, выведите формулы левых и правых прямоугольников.

7. Приведите оценку погрешности формул левых и правых прямоугольников.

8. Выведите формулу средних прямоугольников.

9. Приведите оценку погрешности формулы средних прямоугольников.

10. Выведите формулу трапеций.

11. Приведите оценку погрешности формулы трапеций.

12. Выведите формулу Симпсона.

13. Приведите оценку погрешности формулы Симпсона.

14. Получите формулу выбора начального шага в формуле трапеций.

15. Получите формулу выбора начального шага в формуле Симпсона.

16. В чем состоит правило Рунге оценки погрешностей? Получите оценки погрешностей формул трапеций и Симпсона по правилу Рунге.

17. Как находится полная погрешность вычисления определенного интеграла?

4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

4.1. Постановка задачи

Многие практические задачи при их математическом моделировании сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к уравнениям, в которые входят независимая переменная, искомая функция и ее производные. В данной лабораторной работе рассматриваются численные методы поиска решения для дифференциального уравнения первого порядка

(4.1)

которое удовлетворяет начальному условию

. (4.2)

Известно [1]–[3], что для существования и единственности решения этой задачи (задача Коши) достаточно, чтобы функция и ее частная производная были непрерывны в некоторой области плоскости , содержащей окрестность точки . В то же время аналитическое решение задачи Коши можно найти только в отдельных, наиболее простых случаях, изучаемых в курсе высшей математики [1]. В остальных случаях решение ищется приближенными методами.

Все приближенные методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно условно разделить на следующие группы: аналитические (дают приближение аналитическим выражением), графические (дают приближение графиком) и численные (дают приближение с помощью таблицы). В данной лабораторной работе рассматриваются лишь два из большого числа численных методов решения задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта [1]–[3]. При этом решение находится в виде таблицы своих значений: соответственно для значений аргумента: .

Рис. 4.1. Интегральная кривая y=y(x) (кривая 1) и

график приближенного решения задачи Коши (кривая 2)

Если соединить найденные в процессе решения точки , гладкой кривой, то получим график приближенного решения задачи Коши (рис. 4.1). Этот график по мере удаления от начальной точки все более и более будет отклоняться от графика точного решения (интегральная кривая). Степень отклонения приближенного решения от точного характеризует точность численного метода.