- •Лабораторные работы по высшей математике
- •432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32
- •Оглавление
- •4.1. Постановка задачи ……………………………………………… 39
- •Инструкция по технике безопасности
- •Введение
- •Пакет программ лабораторных работ
- •1. Решение систем линейных уравнений методом гаусса
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Задание на лабораторную работу
- •1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •1.4. Пример выполнения работы
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Метод хорд
- •2.6. Комбинированный метод
- •2.7. Задание на лабораторную работу
- •2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •2.9. Пример выполнения работы
- •2.9. Вопросы для самоконтроля
- •3. Вычисление определенных интегралов
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Методы прямоугольников и трапеций
- •3.3. Метод Симпсона
- •3.4. Оценка погрешностей методов
- •3.5. Задание на лабораторную работу
- •3.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •3.6. Пример выполнения работы
- •3.8. Вопросы для самоконтроля
- •4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод Эйлера
- •4.3. Метод Рунге-Кутта
- •4.4. Выбор шага интегрирования
- •4.5. Задание на лабораторную работу
- •4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •4.7. Пример выполнения работы
- •4.8. Вопросы для самоконтроля
- •5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Выбор типа кривой
- •5.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов
- •5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов
- •5.6. Задание на лабораторную работу
- •5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •5.8. Пример выполнения работы
- •5.9. Вопросы для самоконтроля
- •6. Прикладной математический пакет «mathcad»
- •6.1. О программе
- •6.2. Основные понятия и функции
- •6.3. Операторы математического анализа
- •6.4. Функции и операторы матриц
- •6.5. Создание декартовых графиков на плоскости
- •6.6. Программные блоки
- •Библиографический список
5.3. Метод наименьших квадратов
Общепринятым методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов, при котором требование наилучшего согласования кривой и экспериментальных точек сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой по оси Oy была наименьшей.
Этот метод имеет перед другими методами сглаживания следующие преимущества:
а) он приводит к сравнительно простому математическому способу определения параметров ;
б) допускает достаточно веское теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения [4].
Перейдем к задаче определения параметров , исходя из метода наименьших квадратов. Пусть имеется таблица экспериментальных данных (табл. 5.1), и пусть из каких-то соображений выбран общий вид функции , зависящий не только от аргумента , но и от нескольких числовых параметров
Эти параметры и требуется выбрать согласно методу наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов отклонений от была наименьшей. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений , полученных из эксперимента и функции , в соответствующих точках
(5.2)
Требуется выбрать параметры так, чтобы эта сумма была минимальной.
Из необходимого условия экстремума функции нескольких переменных следует, что эти значения удовлетворяют системе уравнений
(5.3)
или в развернутом виде
(5.4)
Эта система уравнений называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Она содержит столько же уравнений, сколько неизвестных Решить систему (5.4) в общем виде нельзя, для каждого конкретного вида функции исследуется вопрос о существовании решения системы уравнений (5.4) и о существовании минимума функции
В частности, когда функция представлена линейной комбинацией функций
,
то нормальная система примет вид
()
5.4. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов
В эксперименте зарегистрирована совокупность значений (рис. 5.2). Требуется подобрать по методу наименьших квадратов параметры линейной функции , изображающей данную экспериментальную зависимость.
Имеем
(5.5)
Из формулы (5.2) следует, что в этом случае имеет вид
(5.6)
Это функция двух переменных и ( и – заданные числа). Следовательно,
После преобразований нормальная система уравнений (5.4) принимает вид
(5.7)
Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и .
Легко проверить, что система имеет решение и что при найденных значениях и функция имеет минимум.
На основании достаточных условий экстремума функции нескольких переменных находим
Поэтому
Следовательно, имеет минимум.
5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов
В эксперименте зарегистрированы значения (рис. 5.3). Требуется методом наименьших квадратов подобрать параметры параболы , соответствующей данной эксперимен-тальной зависимости. Имеем
В этом случае выражение (5.2) имеет вид
(5.8)
Это функция трех переменных . Система уравнений (5.4) принимает вид
или в развернутом виде
(5.9)
Получили систему линейных уравнений для определения неизвестных . Можно показать, что система имеет единственное решение, и что при полученных функция имеет минимум [3].