2.9. Вопросы для самоконтроля

1. Уравнение какого типа решается в данной работе?

2. Что называется корнем уравнения ?

3. Как графически решить уравнения ?

4. Перечислите достоинства и недостатки графического метода.

5. В чем состоит этап отделения корней уравнения ?

6. Сколько корней должна иметь функция на начальном отрезке ?

7. Как определить аналитически: возрастает или убывает функция на промежутке?

8. Как определить аналитически: выпукла или вогнута функция на промежутке?

9. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие хотя бы одного корня уравнения на начальном отрезке ?

10. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие не более одного корня уравнения на начальном отрезке ?

11. Привести алгоритм решения уравнения методом половинного деления. Какие условия при этом должны быть наложены на функцию ?

12. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом Ньютона?

13. Как выбирается начальная точка в методе Ньютона?

14. Вывести формулу для вычисления последовательных приближений методом Ньютона, записать формулу оценки погрешности.

15. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом хорд?

16. Как выбирается начальная точка в методе хорд?

17. Вывести формулу для вычисления n последовательных приближений методом хорд, записать формулу оценки погрешности.

18. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить комбинированным методом?

19. Выписать формулы, по которым уточняются концы начального отрезка комбинированным методом. В зависимости от каких условий осуществляется выбор формул?

20. Указать условие, по которому процесс уточнения отрезка комбинированным методом должен быть прерван? Как затем найти корень?

3. Вычисление определенных интегралов

3.1. Постановка задачи

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел последовательности интегральных сумм

при условии, что этот предел не зависит от способа разбиения отрезка точками на элементарные отрезки и от выбора точек на этих отрезках.

К вычислению определенного интеграла сводятся многие задачи, как самой математики, так и ее приложений. В тех случаях, когда первообразная (функция называется первообразной для , если выполняется равенство ) подынтегральной функции находится достаточно просто, для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница

Однако, в подавляющем большинстве практических задач первообразную либо нельзя выразить в конечном аналитическом виде через элементарные функции, либо ее определение приводит к громоздким вычислениям, либо точное решение нецелесообразно ввиду его громоздкости. Кроме этого часто подынтегральная функция бывает задана графическим или табличным способами, что делает невозможным применение формулы Ньютона-Лейбница. В таких случаях следует использовать приближенное вычисление определенных интегралов с помощью численных методов.

Существует большое количество методов численного интегрирования. В данных указаниях и лабораторной работе рассматриваются три наиболее часто используемых метода: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона (парабол) [1]–[3]. Эти методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, находят ее приближенное значение, т. е. приближенное значение интеграла, путем вычисления площади другой фигуры, ограничивающая линия которой по возможности мало отклоняется от линии с уравнением . Вспомогательную линию при этом проводят так, чтобы получилась фигура, площадь которой легко вычислялась.

Итак, пусть требуется вычислить определенный интеграл

(3.1)

Если , то значение этого интеграла равно площади криволинейной

трапеции, ограниченной прямыми и графиком функции (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Криволинейная трапеция

Разделим отрезок интегрирования на n равных частей точками: , где – длина каждой части или шаг интегрирования.