Примеры
1. Найти координаты фокуса и уравнение
директрисы параболы
.
Вычислить расстояние от точки
до
фокуса.
Решение. Сравнивая уравнение
с уравнением (2.5), находим, что
,
откуда
,
.
В соответствии с формулой
получаем уравнение
директрисы параболы. Фокус параболы
находится в точке
.
Точка
лежит на параболе, т. к. ее координаты
удовлетворяют уравнению
.
Фокальный радиус точки
.
2. Составить уравнение параболы,
симметричной относительно оси
,
с вершиной в начале координат, если
длина некоторой хорды этой параболы,
перпендикулярной
,
равна 16, а расстояние этой хорды от
вершины равно 6.
Решение. Так как известны длина
хорды и расстояние ее от вершины, то,
следовательно, известны координаты
конца этой хорды – точки
,
лежащей на параболе. Уравнение параболы
имеет вид
;
полагая в нем
,
,
находим
,
откуда
.
Итак, уравнение искомой параболы
.
3. Составить уравнение параболы с
вершиной в начале координат, симметричной
относительно оси
и отсекающей на биссектрисе I
и III
координатных углов хорду длиной
.
Решение. Искомое уравнение параболы
,
уравнение биссектрисы
.
Таким образом, получаем точки пересечения
параболы с биссектрисой:
и
.
Длина хорды определяется как расстояние
между двумя точками:
,
откуда
.
Следовательно, искомое уравнение имеет
вид
.
2.2. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка
1º. Уравнения, не содержащие члена с произведением координат.
Рассмотрим уравнение второй степени
относительно прямоугольных декартовых
координат
и
,
не содержащее члена с
,
т. е. уравнение
.
(2.7)
Уравнение (2.7) определяет на плоскости
эллипс, гиперболу или параболу (с
возможными случаями распада и вырождения
этих кривых) с осями симметрии,
параллельными осям координат, в
зависимости от знака произведения
коэффициентов
и
.
1. Пусть
(эллиптический тип); тогда определяемая
этим уравнением кривая есть эллипс
(действительный, мнимый или выродившийся
в точку); при
эллипс превращается в окружность.
2. Пусть
(гиперболический тип); тогда соответствующая
кривая является гиперболой, которая
может вырождаться в две пересекающиеся
прямые, если левая часть уравнения
распадается на произведение двух
линейных множителей;
.
3. Пусть
(т. е. либо
,
,
либо
,
;
параболический тип); тогда уравнение
определяет параболу, которая может
вырождаться в две параллельные прямые
(действительные различные, действительные
совпадающие или мнимые), если левая
часть уравнения не содержит либо
,
либо
(т. е. если уравнение имеет вид
или
).
Вид кривой и расположение ее на плоскости
легко устанавливаются преобразованием
сдвига:
,
(
– координаты нового начала,
– новые координаты). Это преобразование
равносильно параллельному переносу
осей и начала старой системы координат
(точки
)
в точку
.
Примеры
1. Какую линию определяет уравнение
?
Решение. Вынося за скобки
коэффициенты при квадратах координат
и выделяя полные квадраты, получаем
,
т. е.
или
.
Произведем параллельный перенос осей
координат, приняв за новое начало точку
.
Формулы преобразования координат имеют
вид
,
.
После преобразования координат получим
уравнение
.
Это уравнение эллипса с полуосями
,
и центром в точке
,
,
т. е.
,
,
откуда
,
.
2. Рассмотрим уравнение
.
Так как
,
то уравнение определяет фигуру
эллиптического типа. Дополнив члены до
полных квадратов, получим
.
Очевидно, этому уравнению соответствует
пустое множество.
3. Рассмотрим уравнение
.
Так как
,
то уравнение определяет фигуру
гиперболического типа. Преобразуем
данное уравнение:
,
которое эквивалентно следующим двум:
;
или
;
.
Этим уравнениям в декартовой прямоугольной
системе координат соответствует пара
пересекающихся в точке
прямых.