Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
РЯДЫ.DOC
Скачиваний:
2
Добавлен:
17.04.2019
Размер:
958.98 Кб
Скачать

Ряды.

§1. Числовые ряды.

  1. Основные понятия. Примеры.

Определение: Пусть {an} – числовая последовательность. Выражение a1+a2+…+a3+…= называется числовым рядом. Числа а1, а2, …- члены ряда, причем anобщий член ряда. Сумма Sn=a1+a2+…+a3= называется n-ой частичной суммой данного ряда (сумма первых n членов ряда).

Определение: Если существует конечный предел последовательности {Sn} равный S, то ряд называется сходящимся, а число S – его суммой. .

Если же такого предела не существует, либо он равен , то ряд называется расходящимся.

Предложение: Ряд - сходится , (последовательность остатков 0).

Доказательство. Из равенства 1 можно представить rn=S-Sn, тогда

2. Простейшие свойства числовых рядов.

1.Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость.

2.Пусть ряд и ряд - сходится, тогда сумма этих рядов тоже сходится.

Доказательство. - предел существует.

1.Если ряд - сходится, то и ряд -сходится, где c - некоторое число. Что всякая линейная комбинация сходящихся рядов есть сходящийся ряд.

§2. Необходимые условия сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд - сходится, то общий член ряда → 0 ( ).

Доказательство. Между частичными суммами существует следующая связь: Sn=Sn-1+an, и поэтому .

Следствие: (достаточный признак расходимости). Если , то ряд расходится.

Пример1. -гармонический ряд. → ряд расходится.

§3. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Общий вид: , .

Теорема 1 (предельный признак сравнения). Пусть и с положительными членами. Если существует , который и , тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Обозначим ; . Согласно определению обозначим все члены последовательности { } начиная с некоторого номера находящегося сколь угодно близко к L, т.е. существует номер такой, что .

Умножим все части неравенства на bn (bn>0), получим следующее:

.

1.Пусть сходится ряд , тогда сходится и тогда согласно теореме 3 ввиду неравенства (**) сходится ряд .

2.Пусть сходится ряд , тогда согласно теореме 3 ввиду неравенства (**) сходится ряд из чего следует сходимость .

Аналогично доказывается случай расходимости.

Замечание. Применяя признак сходимости чаще всего сравнивают с и .

Теорема 2 (признак сравнения). Пусть имеется два ряда и и существует номер n0 N такой, что выполняется следующее неравенство , тогда:

        1. если ряд - сходится - сходится.

        2. если ряд - расходится - расходится.

Доказательство. Можно считать, что члены второго ряда членам первого ряда уже начиная с первого номера (иначе можно рассматривать остатки ряда; их сходимость и расходимость равносильна сходимости или расходимости рядов). Считаем, что неравенства выполняется для , тогда аналогичное неравенство выполняется и для {Sn}, т.е. .

  1. Пусть - сходится, тогда последовательность { }- ограничена, значит ограничена и последовательность {Sn} - сходится.

  2. Пусть - расходится. Это означает, что неограниченна его последовательность частичных сумм Sn = { } – неограниченна, значит расходится .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]