Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
РЯДЫ2.DOC
Скачиваний:
1
Добавлен:
03.08.2019
Размер:
741.38 Кб
Скачать

Функции комплексных переменных.

  1. Основные определения и понятия.

Пусть даны 2 комплексные плоскости:

Р ассмотрим некоторую область D на 1 плоскости. Если каждой точке z из множества D ставится в соответствие некоторая точка w из 2 плоскости, то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексных переменных. (D – область определения функции).

Всякую функцию можно представить в виде ; где - две вещественно значные функции действительных функций от двух переменных. Они соответственно называются вещественной и мнимой частью данной комплексно значной функции.

Если каждому комплексному числу ставится в соответствие несколько комплексных чисел, то такое соответствие называется многозначной функцией комплексных переменных.

Для однозначных функций комплексных переменных вводят понятия предела, непрерывности, и т.д. А именно:

Если для , такая, что (*) то число A называется пределом функции в точке : .

Если перейти к действительным и мнимым числам:

Нетрудно видеть, что оно равносильно следующему

Комплексная функция имеет предел:

Различные свойства пределов действительных переменных, сохраняет свойства обычных пределов:

Аналогично определим непрерывность:

Функция называется непрерывной в , если она определена в этой точке имеет в ней предел, который совпадает со значением функции.

Это условие равносильно тому, что предел

т.е. вещественные и мнимые части - непрерывны в точке .

Справедливы все свойства непрерывности пределов, которые имеют место для действительных функций.

  1. Элементарные функции комплексных переменных.

Под элементарными функциями комплексных переменных понимают функции, которые можно представить в как сумму степенного ряда по степеням комплексных переменных z.

Показательная функция

Естественно определим, что и для комплексных переменных должно быть разложение в такой же ряд

В частности для чисто мнимого аргумента z получим

Выделим отдельно мнимые и действительные части

- формула Эйлера.

.

Логарифмическая функция

Пусть ,

- эта функция многозначная.

- главное значение логарифма.

Тригонометрическая функция

В результате разложения в ряд следующих функции , можно заметить следующее:

Из системы находим и .

Отметим, что является периодической с периодом ; - также являются периодическими с периодом .

Пример.

    1. Гиперболическая функция

Обратные тригонометрические функции

- нужно решить это уравнение относительно .

    1. Обобщенная показательная функция

    1. Обобщенные степенные функции

§2. Дифференцирование и интегрирование функций комплексных переменных.

1. Производная функции комплексных переменных.

Пусть задана в окрестности ࠔ . Окрестность если существует - которая называется производной функции z в точке . И обозначается . Функция называется дифференциалом в точке .

Если функция дифференцируема во всей области , то функция f- дифференцируема на множестве D.

Из условия дифференцирования вытекает следующее равенство:

.

Главная часть приращения: - дифференциал функции .

Из определения свойств пределов к комплексных переменных вытекают свойства производных.

Свойства производных:

Для основных элементарных функций таблица производных такая же как и для функций действительных переменных.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]