- •Основные определения и понятия.
- •Элементарные функции комплексных переменных.
- •§2. Дифференцирование и интегрирование функций комплексных переменных.
- •1. Производная функции комплексных переменных.
- •2. Условия Коши-Римана.
- •§3. Аналитические функции.
- •Интеграл по контуру от функции комплексных переменных.
- •Интегральная теорема Коши.
- •Интеграл с переменным верхним пределом и неопределенным интегралом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Интегральные формулы для производных.
- •§4. Ряды в комплексной области.
- •§5. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье.
- •Объединим 3 формулы: (2). Коэффициент - амплитуда.
- •Тригонометрическая и вещественная формы интеграла Фурье.
- •Тригонометрическая форма преобразования Фурье. Sin – и Cos – преобразования Фурье.
Функции комплексных переменных.
Основные определения и понятия.
Пусть даны 2 комплексные плоскости:
Р ассмотрим некоторую область D на 1 плоскости. Если каждой точке z из множества D ставится в соответствие некоторая точка w из 2 плоскости, то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексных переменных. (D – область определения функции).
Всякую функцию можно представить в виде ; где - две вещественно значные функции действительных функций от двух переменных. Они соответственно называются вещественной и мнимой частью данной комплексно значной функции.
Если каждому комплексному числу ставится в соответствие несколько комплексных чисел, то такое соответствие называется многозначной функцией комплексных переменных.
Для однозначных функций комплексных переменных вводят понятия предела, непрерывности, и т.д. А именно:
Если для , такая, что (*) то число A называется пределом функции в точке : .
Если перейти к действительным и мнимым числам:
Нетрудно видеть, что оно равносильно следующему
Комплексная функция имеет предел:
Различные свойства пределов действительных переменных, сохраняет свойства обычных пределов:
Аналогично определим непрерывность:
Функция называется непрерывной в , если она определена в этой точке имеет в ней предел, который совпадает со значением функции.
Это условие равносильно тому, что предел
т.е. вещественные и мнимые части - непрерывны в точке .
Справедливы все свойства непрерывности пределов, которые имеют место для действительных функций.
Элементарные функции комплексных переменных.
Под элементарными функциями комплексных переменных понимают функции, которые можно представить в как сумму степенного ряда по степеням комплексных переменных z.
Показательная функция
Естественно определим, что и для комплексных переменных должно быть разложение в такой же ряд
В частности для чисто мнимого аргумента z получим
Выделим отдельно мнимые и действительные части
- формула Эйлера.
.
Логарифмическая функция
Пусть ,
- эта функция многозначная.
- главное значение логарифма.
Тригонометрическая функция
В результате разложения в ряд следующих функции , можно заметить следующее:
Из системы находим и .
…
Отметим, что является периодической с периодом ; - также являются периодическими с периодом .
Пример.
Гиперболическая функция
Обратные тригонометрические функции
- нужно решить это уравнение относительно .
Обобщенная показательная функция
Обобщенные степенные функции
§2. Дифференцирование и интегрирование функций комплексных переменных.
1. Производная функции комплексных переменных.
Пусть задана в окрестности ࠔ . Окрестность если существует - которая называется производной функции z в точке . И обозначается . Функция называется дифференциалом в точке .
Если функция дифференцируема во всей области , то функция f- дифференцируема на множестве D.
Из условия дифференцирования вытекает следующее равенство:
.
Главная часть приращения: - дифференциал функции .
Из определения свойств пределов к комплексных переменных вытекают свойства производных.
Свойства производных:
Для основных элементарных функций таблица производных такая же как и для функций действительных переменных.