Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
II_kurs_3_semestr2.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
16.11.2018
Размер:
225.28 Кб
Скачать

1.5. Энтропия системы по Больцману

Формула Клазиуса позволяет получить выражение для энтропии системы. Как было показано в § 1.5

d<E> = δQ

А если <E> = ∑ Pn En

С другой стороны, из канонического распределения следует, что

Pn = e- En/kT / z

lnPn + lnz = - En/kT

<E> = -∑ Pn (lnPn + lnz) kT = -kT∑ Pn lnPn - kT lnz

δQ = d<E>

Так как система находится в равновесии, то температура системы равна температуре окружающего мира. Статистическая сумма так же будет постоянна, так как x = const.

δQ = d<E> = -kTd(∑ Pn lnPn)

dS = δQ/T = -kd(∑ Pn lnPn)

S = -k∑ Pn lnPn + S0

S0 – некоторая произвольная величина, для нахождения которой рассмотрим предельный невероятный случай системы с одним доступным состоянием Г = 1

S = klnГ = 0

Вероятность этого доступного состояния будет

Pn = 1/Г = 1

∑ Pn lnPn = 1ln1 = 0 → S0 = 0

S = -k∑ Pn lnPn

§ 1.6. Системы с переменным числом частиц. Большое каноническое распределение

Рассмотрим большую изолированную системы u, которая находится в равновесии. Пусть малая часть этой системы, подсистема S, обменивается с окружающим миром, системой W, энергией и частицами. Если предположить, что взаимодействие между частицами парное, то, как было показано в § 1.2, можно говорить об отдельном состоянии системы S. Так как число взаимодействующих частиц между системами S и W бесконечно мало, про эти частицы нельзя сказать, к какой системе они относятся.

Определим вероятность того, что система S находится в одном из своих квантовых состояний “n” с энергией En и числом частиц N.

Так как большая система находится в равновесии, то вероятность каждого из ее доступных состояний одинакова и будет 1/Гu, Гu - где статистический вес системы. Если среди этих доступных состояний Г u* - число состояний системы u, при которых система S находится в состоянии “n” с числом частиц N, то

Pn(En, N) = Г u*/ Гu

С другой стороны, число доступных состояний системы u Г u*, при котором система S находится в одном состоянии, будет совпадать с числом доступных состояний системы W.

Pn(En, N) = ГW (EWNW)/Гu

При этом, пренебрегая числом частиц и их энергией, находящихся в граничном слое, находим, что энергия системы W будет

EW = Eu - En

NW = Nu – N

Eu и Nu - энергия и число частиц системы u,

En и N – энергия и число частиц системы S

Тогда

Pn(En, N) = ГW (Eu – Eт, Nu - N)/Гu

Разложим функцию ГW в степенной ряд. Для лучшей сходимости разложим эту функцию в ряд ее логарифма.

lnГW(Eu – En, Nu-N) = lnГW(Eu, Nu) - En(∂lnГW/∂E)(Eu, Nu) – N(∂lnГW/∂N)(Eu, Nu) =

- lnГW(Eu, Nu) - βEn + μβN +…

β = ∂lnГ/∂E

μβ = - ∂lnГW/∂E

Тогда

ГW(Eu – En, Nu-N) = e- βEn + μβN ГW(Eu, Nu)

И вероятность будет равна

Pn(En, N) = [ГW(Eu – En)/ Гu] e- βEn + μβN = (1/zgr) e- βEn + μβN

β = 1/kT

Постоянный коэффициент легко находится из условия нормировки

∑ Pn(En, N) = 1

zgr = ∑ e(-En + μN)kT - большая статистическая сумма

Pn(En, N) = e(-En + μN)kT /zgr - большое каноническое распределение

Μ = (1/β)(∂lnГ/∂N)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]