§ 1.1. Микро- и макросистемы. Основной постулат равновесных систем

Микросистемы – системы, которые состоят из небольшого числа частиц (10¹).

Для описания таких систем в классическом приближении надо задать координаты и скорости всех частиц системы. При квантовом рассмотрении надо задать квантовые числа каждой частицы, совокупность которых для всей системы будет определять одно ее квантовое состояние. А параметры таких систем будем называть микропараметрами.

Макросистема – система, состоящая из большого числа частиц (10²⁰).

Попытка описать макросистему с помощью микропараметров приводит к неразрешимым математическим проблемам, поэтому для описания макросистем вводят макропараметры, которые по определению являются средними значениями от соответствующих микропараметров.

Макросостояние системы определяется макропараметрами. Очевидно, что одно макросостояние системы может быть реализовано при помощи различных микросостояний. Число таких микросостояний называется числом доступных состояний, или статистическим весом системы.

Основной постулат статистической физики: в равновесном состоянии вероятность каждого доступного состояния одинакова. Это так же является определением равновесного состояния системы.

Рассмотрим изолированную систему и определим вероятность того, что она находится в одном из своих состояний n с энергией E_n. Как известно, энергия изолированной системы постоянна и равна E.

Введем Δ функции:

Δ(α) = 1, если α = 0

Δ(α) = 0, если α ≠ 0

Тогда число доступных состояний системы будет:

Г = ∑ Δ(E_n - E)

Рассмотрим систему:

E_n = 6 Дж

P_n (E_n) = [Δ(E - E_n)]/[∑ Δ(E - E_n)]

∑ P_n (E_n) = ∑[(Δ(E - E_n))/(∑ Δ(E - E_n))] = 1

< E_n > = ∑ P_n (E_n) E_n = [(∑E_n Δ(E - E_n))/ (E_n Δ(E - E_n))] = E

§ 1.2. Система с постоянной энергией. Каноническое распределение

Изолированных систем в природе практически не бывает (за исключение одной, которую называют Вселенной). Рассмотрим малую часть этой Вселенной, систему S, которая обменивается с окружающим миром, системой W, только энергией.

Все системы находятся в равновесии. Определим вероятность того, что система S находится в одном из своих квантовых состояний n с энергией E_n. При определении квантового состояния системы S возникает трудности, так как состояние системы S должно определяться только состоянием ее частиц. Но состояние частиц системы S может зависеть от состояния частиц системы W. До того, чтобы упростить задачу, мы будем рассматривать системы лишь с парным взаимодействием, то есть взаимодействует только две частицы.

Потенциальная энергия парного взаимодействия имеет вид

При парном взаимодействии на расстоянии R >> R_D взаимодействия почти нет. Таким образом, при парном взаимодействии между системами S и W будет осуществляться за счет частиц, находящихся в граничном слое между системами, ширина которого R_D. Если предположить, что средняя плотность частиц в системе u больших скачков не испытывает, что число частиц в системе S и в граничном слое будет пропорционально их объемам:

N_S/N_SW = V_S/V_SW

Если размер системы S равен R_S, то и ее объем R_S. Объем граничного слоя будет равен R²_S R_D.

N_S/N_SW = R³_S / R²_S R_D = R_S / R_D

Если размер системы много больше, чем радиус взаимодействия между частицами, что N_S>>N_SW и в этом случае частицы, находящиеся в граничном слое, влияния на состояние системы S и W оказывают очень незначительное.

Таким образом, в случае взаимодействия можно говорить о состоянии системы S независимо от состояния системы W, при этом энергия системы U(E_U) будет равен:

E_u = E_n + E_W + E_SW

E_n – энергия системы S

E_W – энергия системы W

E_SW – энергия частиц в граничном слое

E_u – энергия Вселенной

В нашем приближении E_u = E_n + E_W

Система u находится в равновесии, что означает, что вероятность любого из доступных состояний одинакова и равна 1/Г_u, где Г_u число доступных состояний системы u, при которых система S находится в состоянии n с энергией E_n будет:

P_n(E_n) = Г_u^*/ Г_u = Г_W(E_u – E_n) / Г_u

Разложим полученную функцию в ряд, так как E_u много больше, чем E_n. Для лучшей сходимости разложим в ряд:

lnГ_W(E_u – E_n) = lnГ_W(E_n) – E_n (∂lnГ_W(E_u) / ∂E)

(∂lnГ_W(E_u) / ∂E)(E_u) = β

lnГ_W(E_u – E_n) = lnГ_WE_u – βE_n + …

Г_W(E_u – E_n) = Г_WE_ue^{- βEn}

P_n(E_n) = Г_W(E_u – E_n) / Г_u = (Г_WE_u / Г_u) e^{- βEn} = e^{- βEn} / z,

где постоянный коэффициент z можно найти из условия нормировки:

∑ P_n = 1

Находим z = ∑ e^{- βEn} – статистическая сумма

P_n(E_n) = e^{- βEn} / z – каноническое распределение Гиббса