Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
II_kurs_3_semestr2.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
16.11.2018
Размер:
225.28 Кб
Скачать

§ 2.4. Абсолютно черное тело

Рассмотрим замкнутый объем V, в котором находится равновесное излучение и некоторое тело. Определим энергию, которая падает на единицу поверхности тела за единицу времени. Так как энергия равновесного излучения переносится фотонами со скоростью с, то за время dt на поверхность dS тела попадет энергия из объема сdtdS. При этом на поверхность тела попадет только 1/6 часть энергии, находящейся в этом объеме. Если в интервале от ω до ω + dω энергия всего излучения будет

E(ω)dω = (4Vħ/Π2с3)(ω3dω/(e ħω/kT - 1)), то в единице объема она будет E(ω)dω/V

И тогда за единицу времени на единицу площади тела в заданном интервале частот попадет энергия

cE(ω)dω/6V = e(ω)dω= 2ħω2dω/3Π2с2(e ħω/kT – 1)

Из этой энергии часть будет поглощена поверхностью тела

e(ω)dωA(ω) – энергия, поглощенная единицей поверхности за единицу времени

A(ω) – поглощательная способность тела

Кроме того за единицу времени с единицы площади поверхности излучается энергия I(ω)dω.

I(ω) – излучательная способность тела, или спектральная плотность излучения

Так как тело находится в равновесии с излучением, то сколько излучилось, столько и поглотится.

I(ω)/A(ω) = e(ω) = 2ħω3/3Π2с2(e ħω/kT – 1)

Закон Кирхгофа для теплового излучения: I(ω)/A(ω)- универсальная функция и не зависит от тела.

Абсолютно черное тело - тело, для которого A(ω) = 1. Солнце – это почти абсолютно черное тело.

I(ω) для а.ч.т. = e(ω) = 2ħω3/3Π2с2(e ħω/kT – 1)

При температуре T = 6000K цвет абсолютно черного тела – красно-рыжий. При малых частотах, когда ħω<<k e(ω) будет

e(ω) = 2ħkTω2/3Πс2ħ

Эта формула была получена из классической электродинамики Рылеем и Джинсом и получила название ультрафиолетовой катастрофы. Максимальная интенсивность излучения происходит при частоте ωm, именно она определяет цвет тела. Чтобы определить ее, надо приравнять к нулю производную

[3ω2/(e ħω/kT – 1)] – [ħω3e ħω/kT /kT(e ħω/kT – 1) 2] = 0

[3(e ħω/kT – 1)] – [ħωe ħω/kT /kT] = 0

ħω /kT = x

3(ex - 1) - xex = 0

ħωm/kT = const

ωm ≈ T

Закон Вина: с ростом T частота максимального излучения растет.

Определим полную энергию излучения

E = ∫e(ω)dω = (2/3) ∫ħω3dω/Π2с2(e ħω/kT – 1) = GT4

G – постоянная Стефана-Больцмана

Закон Стефана и Больцмана: полная энергия излучения абсолютно черного тела пропорциональная четвертой степени ее абсолютной температуры.

§ 2.5. Энергия твердых тел. Идеальный фононный газ

Твердое тело состоит из атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки. Часть электронов этих атомов отрывается от них и образует идеальный электронный газ. Идеальный электронный газ описывается с помощью зонной теории, которая предполагает, что твердое тело – это некоторый ящик размером с твердое тело, в котором находится идеальный электронный газ. Взаимодействие электронов с кристаллической решеткой учитывается наличием запрещенной зоны энергии у электронов и заменой их массы на эффективную. Однако такое рассмотрение возможно, только если ионы кристаллической решетки образуют неподвижную периодическую структуру. На самом деле ионы кристаллической решетки твердого тела совершают колебания, которые распространяются вдоль твердого тела в виде волн, которые называются звуком.

Рассмотрим энергию этих колебаний. Для этого по аналогии с электромагнитной волной, где фотон – реальная частица, введем виртуальную частицу – фонон. Фонон – это такая частица, энергия которой равна ħω, где ω – частота звуковых колебания, а скорость звука Vs = ω/k.

Таким образом, звуковые колебания решетки мы можем представить в виде фононного газа, и тогда в качестве модели твердого тела можно рассматривать ящик, в котором находится идеальный электронный газ и фононный газ. Так как в твердом теле может одновременно существовать несколько одинаковых звуковых волн, то фононы – это бозе-частицы. Так как звуковые волны не взаимодействуют между собой, то фононный газ – это идеальный газ. В условии термодинамического равновесия происходит излучение и поглощение звуковых волн, то есть изменяется число фононов, а энергия звуковых колебаний остается постоянной. Поэтому, как и в случае фотонов, химический потенциал фононного газа равен нулю. Среднее число фононов с энергией El = ħωl будет

<Nl> = 1/e ħω/kT- 1

Определим среднее число фононов, частота которых лежит в интервале от ω до ω + dω. Повторяя выводы § 2.3

f(ω)dω = g(ω)dω/(e ħω/kT- 1)

g(ω) = (4V/Π2)(ω2/Vs 3)

Однако в отличие от фотонного газа частота звуковых колебаний не может быть бесконечно большой и определяется числом степеней свободы. В твердом теле число собственных звуковых волн равно числу степеней свободы. Если твердое тело состоит из N атомов, то таких степеней будет 3N. То есть в твердом теле возможно только 3N различных частот звуковых колебаний. Это позволяет определить максимальную частоту излучений.

3N = ∫ρ(ω)dω = (4VωD3/3Π3Vs 3)

ωD = [9NΠ2Vs 3/4V]1/3

Энергия звуковых волн в заданном интервале

e(ω)dω = ħω(ρ(ω)dω/(e ħω/kT- 1)) = 4Vħω3dω/Π2Vs 3(e ħω/kT- 1)

А полная энергия будет

E = ∫e(ω)dω = (4Vħ/Π2Vs 3)(kT/ħ)4 ∫x3dx/(ex-1)

Рассмотрим область высоких температур kT>>ħωD . При этом условии величина x лежит в интервале 0≤x≤ ħωD/kT≤1. Поэтому x можно разложить в ряд

E = (4Vħ/Π2Vs 3)(kT/ħ)4 ∫x3dx/(ex-1) = (4Vħ/Π2Vs 3)(kT/ħ)4 (9ħNΠ2Vs 3/12kTV) = 3NkT

Рассмотрим область температур kT<<ħωD . В этом случае верхний предел стремится к бесконечности.

E = (4Vħ/Π2Vs 3)(kT/ħ)4 ∫x3dx/(ex-1) = 6T4

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]