§ 2.3. Равновесное электромагнитное излучение. Идеальный фотонный газ

Рассмотрим некоторый замкнутый объем V, в котором находится равновесное электромагнитное излучение. Как известно, любую электромагнитную волну можно представить в виде частиц-фотонов, при этом энергия фотонов будет

E = ħω

c = ω/k – фазовая скорость волны

Таким образом, в замкнутом объеме V находится фотонный газ. Так как электромагнитные волны не взаимодействуют друг с другом, то есть не взаимодействуют между собой фотоны, и мы имеем дело с идеальным газом фотонов. То есть в одной системе может существовать несколько одинаковых электромагнитных волн, то есть фотоны – это бозе-частицы. К ним можно применить распределение Бозе-Эйнштейна, и среднее число фотонов будет

<N_l> = 1/e^{(El - μ)/kT}- 1

При этом энергия одного фотона будет

E_l = ħω_l

При взаимодействии равновесного излучения со стенкой объема V происходит поглощение, отражение и излучение фотонов стенкой, таким образом, число фотонов в объеме изменяется, но энергия излучения остается постоянной.

В § 1.8 было показано, что химический потенциал равен изменению энергии при изменении среднего числа частиц на единицу. В нашем случае число частиц не равно константе, а энергия постоянна. Это означает, что химический потенциал фотонного газа равен нулю.

<N_l> = 1/e ^ħω/kT- 1

Найдем среднее число фотонов, частота которых лежит в интервале от ω до ω + dω. Для этого выясним сколько состояний фотонов находится внутри интервала. По формуле для <N_l> вычислим число частиц в каждом состоянии, а затем сложим. Если dω бесконечно мала, то среднее число фотонов в каждом состоянии внутри интервала будет примерно одинаково и равно 1/e ^ħω/kT- 1. Поэтому среднее число частиц в интервале частот будет

f(ω)dω = g(ω)dω/(e ^ħω/kT- 1)

Для того, чтобы найти число таких состояний, найдем сначала число состояний, при которых проекция волнового вектора лежит в интервале от k_x до k_x + dk_x

dk_x = Πdn_x /A

dn_x = A dk_x /Π

То же самое можно получить и для двух других проекций. Определим число состояний, при которых волновой вектор k лежит в интервале от k_x до k_x + dk_x. Очевидно, что число таких состояний будет

dn_xdn_ydn_z = ABC (dk_xdk_ydk_z) / Π³= V (dk_xdk_ydk_z) / Π³

Найдем число состояний, при которых величина волнового вектора k лежит в интервале от k до k + dk. То есть число состояний, при которых конец вектора находится внутри сферической оболочки с радиусом k и dk. Чтобы вычислить число таких состояний разобъем сферическую оболочку на бесконечно малые объемы со сторонами dk_x, dk_y, dk_z., вычислить число состояний, при которых вектор попадает внутрь такого объема, и сложим по всей сферической оболочке. Тогда число состояний будет

g(k)dk = V/Π³∫dk_xdk_ydk_z = 4Vk²dk/Π²

g(ω)dω = (4V/Π²)(ω²dω/с³)

f(ω)dω = (4V/Π²с³)(ω²dω/(e ^ħω/kT - 1))

Определим среднюю энергию фотонного газа в интервале частот от ω до ω + dω. Для этого умножим среднее число частиц в заданном интервале на энергию одной чстицы. Тогда средняя энергия фотонного газа в интервале будет

E(ω)dω = ħω f(ω)dω = (4Vħ/Π²с³)(ω³dω/(e ^ħω/kT - 1))

E(ω) – спектральная плотность излучения

E(ω) = (4Vħω³/Π²с³(e ^ħω/kT - 1))