Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
II_kurs_3_semestr2.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
16.11.2018
Размер:
225.28 Кб
Скачать

§ 2.9. Теорема о равномерном распределении. Многоатомный идеальный газ

Рассмотрим идеальный газ, молекула которого состоит из “n” атомов. Тогда общая энергия газа будет E = ∑Ei

Энергия одной молекулы будет

Ei = Ek + En

Ek – кинетическая энергия молекулы

En – потенциальная энергия молекулы

Потенциальная энергия определяется энергией взаимодействия атомов в молекуле. Определим вклад в общую энергию системы от одной степени свободы в системе. На одну степень свободы в кинетической энергии системы приходится mVx2/2 энергии, где m – масса атома. Тогда средний вклад будет

<mVx2/2> = m< Vx2>/2 = mkT/2m = kT/2

То есть на одну степень свободы приходится kT/2 кинетической энергии. Рассмотрим вклад в потенциальную энергию системы, приходящуюся на одну степень свободы. Будем считать, что потенциальная энергия атомов в молекуле является квадратичной функцией координат. Тогда вклад в потенциальную энергию от одной степени свободу будет b1x2.

<b1x2> = b1<x2>

<x2> = ∫ x2W1(x)dx

W1(x) – плотность вероятности, определяется распределением Больцмана

W1(x) = c7e^(-b1x2/kT)

Постоянный коэффициент можно найти из условия нормировки

c7 = (b1/ПkT)1/2

<x2> = (b1/ПkT)1/2 ∫ x2e^(-b1x2/kT)dx = kT/2b1

Тогда средний вклад в потенциальную энергию на одну степень свободы будет

<b1x2> = kT/2

Теорема о равномерном распределении: на каждую степень свободы потенциальной и кинетической энергии системы приходится вклад kT/2.

Рассмотрим зависимость полной средней энергии системы от температуры. При достаточно низких температурах вращательные и колебательные степени свободы молекул не возбуждаются. Поэтому при низких температурах молекула газа обладает лишь тремя степенями свободы, определяющими движение ее центра масс. Средняя энергия одной молекулы будет 3kT/2, то есть три степени свободы вносят вклад в кинетическую и потенциальную энергии 2NkT/2.

При увеличении температуры возбуждаются вращательные степени свободы, которые тоже вносят вклад в кинетическую энергию. Вращательных степеней свободы у всех молекул три, кроме линейных и двухатомных. Тогда вклад в кинетическую энергию от вращательной степени свободы будет 3NkT.

Оставшиеся степени свободы приходятся на колебательное движение. Каждой колебательной степени свободы соответствует kT/2 кинетической и колебательной энергии.

§ 2.10. Условие применимости классического приближения и вырождения идеального газа

Как известно, среднее число частиц, энергия которых лежит в интервале от E до E + dE, определяется квантовым распределением.

f(E)dE = c0V(E)1/2dE/( e(E - μ)/kT ± 1)

“+” – распределение Ферми

“-” – распределение Бозе

V – объем системы

c0 – можно найти из условия нормировки

∫f(E)dE = N

Это распределение справедливо всегда. В классическом приближении среднее число частиц, скорость которых в интервале от V до V + dV, дается распределением Максвелла.

f(V)dV = 4NП(m/2ПkT)3/2V2e^(-mV2/2kT)dV

Для идеального газа E = mV2/2

dE = mVdV

f(E)dE = co1N(E)1/2e-E/kTdE

Сравнивая полученные распределения, заметим, что классическое приближении будет совпадать с квантовым, если e(E-μ)/kT>>1. Тогда

f(E)dE = coV(E)1/2eμ/kT e-E/kT dE

Таким образом, условием применимости классического приближения будет eE-μ/kT>>1. Это условие должно выполняться для любых значений энергии, в том числе и в самой трудном случае (E = 0). То есть e-μ/kT>>1.

Рассмотрим классическое приближение

N = ∫ f(E)dE = coVeμ/kT ∫(E)1/2 e-E/kT dE = co2Veμ/kT(kT)3/2 = N

e-μ/kT = co2V(kT)3/2/N >>1

T>>(N/co2V)2/3(1/k)

Если Тсист. > Т с(критич), где Тсист = (N/co2V)2/3(1/k), то можно пользоваться классическим приближением. Заметим, что критическая температура определяется концентрацией частиц системы N/V.

Вырожденная система – система, основная часть частиц которой находится в состоянии с минимальной энергией.

Рассмотрим ферми-частицы, функция распределения которых имеет вид

f(E)dE = coV(E)1/2 dE/ (e(E-μ)/kT + 1)

Ферми-газ считается вырожденным, если частиц с энергией E большей, чем EF, будет мало.

Это условие будет выполняться, если

e(E-μ)/kT > 1 E > EF

Наилучший случай, когда μ максимально большое.

e(E-Ef)/kT >> 1 E > EF

Определим, чему равняется энергия Ферми. Для этого рассмотрим газ при абсолютном нуле температуры. В этом случае интеграл от 0 до ∞ можно заменить на интеграл от 0 до EF и учесть, что знаменатель дроби при нулевой температуре будет равен единице. Тогда получается

N = ∫f(E)dE = 2c0VEF3/2 /3

EF = (3N/2V)2/3

TF = (1/k)(3c0N/2V)2/3

Рассмотрим систему из Бозе-частиц. На эти частицы не распространяется принцип Паули. Среднее число таких частиц будет

El<Nl> = (e(El-μ)/kT - 1)-1

Так как на эти частицы не распространяется принцип Паули, то в основном состоянии с E0 = 0 может быть сколько угодно частиц. В случае вырождения в заданном состоянии должно находится много частиц

<N0> = (e-μ/kT - 1)-1

e-μ/kT ≈ 1

Среднее число частиц, лежащих в заданном интервале, можно определить с помощью функции распределения Бозе

f(E)dE = coV(E)1/2 dE/ (e(E-μ)/kT - 1)

Но надо учесть, что сюда не входят частицы с энергией E = 0, так как для этих частиц функция распределения равна нулю.

∫ f(E)dE = Ne – частицы, энергия которых не равна нулю (возбужденные частицы)

Ne = ∫ coV(E)1/2 dE/ (e(E-μ)/kT - 1)

В случае вырождения e-μ/kT = 1

Ne = ∫ coV(E)1/2 dE/ (eE/kT - 1) = coV (kT)3/2 ∫x1/2dx/(ex-1) = co3V (kT)3/2

Если газ вырожден, то число возбужденный частиц должно быть меньше полного числа частиц.

coV (kT)3/2 << N

T << (1/k)(N/co3V)2/3 = Tb – температура Бозе

Оказывается, что Tc, TF, Tb практически определяется одинаковыми функциями.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]