Подсказка

Если z>x и z>y, то правая часть уравнения больше левой.

Решение

Предположим, что нашлись натуральные x, y, z, для которых выполняется равенство x^x+2y^y=z^z. Из этого равенства видно, что z>x и z>y, иначе левая часть оказалась бы больше, чем правая. Таким образом, левая часть не превосходит числа (z-1)^z-1+2(z-1)^z-1=3(z-1)^z-1. Если z не меньше 3, то 3(z-1)^z-1 < z*z^z-1 = z^z, т.е. левая часть рассматриваемого равенства меньше правой. Если же z=2, то 3(z-1)^z-1=3, а z^z=4, и снова левая часть рассматриваемого равенства меньше правой. Вывод: написанное равенство не может быть выполнено для натуральных x, y, z.