Решение

Количество рублей, потраченных Андреем в те дни, когда он покупал билет у шофёра, делится на 5; на 5 делится и общее количество потраченных им в январе рублей. Значит, и в другие дни общее количество потраченных денег делилось на 5. Поэтому, количество дней, когда Андрей покупал билет у кондуктора, делится на 5. Числа 0 и 10 не годятся; числа, большие 10 - тем более, поэтому единственный воз- можный вариант - 5 дней. Тогда остальных дней (115-11*5)/15=4, а кружок был 9 раз.

Ответ

9 раз.

22. Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо на 37 шагов влево, либо на 47 шагов вправо. За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки?

Решение

Фактически, нам требуется найти решение уравнения

в целых неотрицательных числах с наименьшей суммой x + y. Одно из решений этого уравнения — x = 26, y = 33. Покажем, что приведенное решение имеет минимальную сумму x + y. Пусть (x,y) — другое целочисленное решение этого уравнения. Вычтя из равенства (*) равенство 47 • 26 – 37 • 33 = 1, получаем 47(x – 26) = 37(y – 33). Отсюда следует, что x – 26 делится на 37, а y – 33 — на 47. Значит, (26,33) — решение с минимальным положительным значением как x, так и y. Ответ в задаче — 59 минут.

23. У кассира есть только 72-рублевые купюры, а у Вас - только 105-рублевые (у обоих в неограниченном количестве).   а) Сможете ли Вы уплатить кассиру один рубль?   б) А три рубля?

Решение

а) Предположим, что вам это удалось. Пусть Вы отдали кассиру x купюр, а он отдал вам y купюр. Тогда 105x-72y=1, но левая часть делится на 3, а правая - нет; противоречие. Значит, заплатить кассиру ровно один рубль не получится.   б) Да, сможете. Например, если вы дадите кассиру 11 купюр, а он вам отдаст 16 купюр.

Ответ

а)нет; б)да.

24. Во всех клетках таблицы 20*20 расставлены плюсы. Разрешается менять знак одновременно во всех клетках строки или столбца. Можно ли, пользуясь этими операциями, получить ровно 199 минусов?

Подсказка

Результат не зависит от порядка операций.

Решение

Заметим, что порядок, в котором мы меняем знаки, безразличен. Также двукратное применение операции к одному и тому же столбцу (к одной и той же строке) не меняет расстановки знаков. Поэтому можно считать, что операцию применили к k различным строкам и к l различным столбцам. После этого число минусов будет равно (k+l)*20-kl. Приравнивая это число к 199, приходим к уравнению: kl-20(k+l)+199=0. Преобразовывая, получим: (20-k)(20-l)=201. Легко видеть (поскольку 201=67*3), что последнее уравнение не имеет решений в целых числах из интервала 0,1,2,...,20.

25. .

Ответ

, , , .

26. Решить уравнение в целых положительных числах

Решение

Любое число единственным образом представляется в виде суммы двух чисел, одно из которых — целое, а другое — неотрицательно и меньше единицы. Это — сумма его целой и дробной части. Для таким представлением будет . Поэтому x = 1, . Аналогично разлагаем в сумму целой и дробной части. Получаем y = 2, z = 3.

27. Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что осталось 124 клетки. Сколько клеток мог содержать первоначальный лист бумаги?