Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Уравнения в целых числах.doc
Скачиваний:
7
Добавлен:
14.11.2018
Размер:
196.1 Кб
Скачать

Тема: Уравнения в целых числах.

1. Докажите, что уравнение + + = 1 неразрешимо в натуральных числах.

Подсказка

. . = 1.

2. Попробуйте разменять 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 руб.

Решение

Если мы возьмём все 11 купюр достоинством 3 руб., то получим 33 руб.  — на 8 руб. больше, чем надо. Заменим несколько трехрублевых купюр на однорублевые. Каждая купюра уменьшает разницу на 2 руб. Следовательно, чтобы уменьшить сумму на 8 руб., надо заменить 4 трехрублевые купюры на 4 однорублевых: ( 73 руб.) + (41 руб.) = 25 руб. Чтобы найти все возможные решения, составим систему уравнений:

где x, y, z  — количество одно-, трех- и пятирублевых купюр. Вычтя первое уравнение из второго, получим 2y + 4z = 14, или y + 2z = 7. Из последнего уравнения видно, что для z возможны четыре значения  — 0, 1, 2, 3. Им соответствуют четыре значения y  — 7, 5, 3, 1 и четыре значения x  — 4, 5, 6, 7. Таким образом, задача имеет четыре различных решения.

Ответ

 25 руб. = 2×5 руб. +3×3 руб. +6×1 руб.

3. В комнате стоят трехногие табуретки и четырехногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

Подсказка

Заметьте, в комнате находятся пяти- и шестиногие существа, у которых в сумме 39 ног.

Решение

По условию, в комнате находятся пяти- и шестиногие существа, у которых в сумме 39 ног. Число ног у пятиногих оканчивается на 0 или 5. Но в данном случае на 0 это число оканчиваться не может, т.к. тогда число ног у шестиногих будет кончаться на 9. В таком случае пятиногих может быть 1, 3, 5 или 7. Простым перебором определяем, что пятиногих существ  — 3, а шестиногих  — 4. То есть в комнате 4 стула и 3 табуретки.

Ответ

 3 табуретки.

4. Попробуйте разменять 25-рублевую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 руб.

Решение

Если мы возьмем все 11 купюр достоинством 3 р., то получим 33р. – на 8р. больше, чем надо. Заменим несколько трехрублевых купюр на однорублевые. Каждая купюра уменьшает разницу на 2р. Следовательно, чтобы уменьшить сумму на 8р., надо заменить 4 трехрублевые купюры на 4 однорублевых: (7 × 3р.) + (4 × 1р.) = 25р. Чтобы найти все возможные решения, составим систему уравнений: х + у + z = 11, х + 3у + 5z = 25, где х, у, z – количество одно-, трех- и пятирублевых купюр. Вычтя первое уравнение из второго, получим 2у + 4х = 14, или у + 2х = 7. Из последнего уравнения видно, что для z возможны четыре значения — 0, 1, 2, 3. Им соответствуют четыре значения у – 7, 5, 3, 1 и четыре значения х – 4, 5, 6, 7. Таким образом, задача имеет четыре различных решения.

5. Решить в натуральных числах уравнение: x + 1/(y + 1/z) = 10/7

Решение

Так как числа x, y, z — натуральные, x = = 1, y = = 2, z = 3.

6. Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число ночей. Каждый сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали 1001 человеко-ночь?

Подсказка

1001 = 7 . 11 . 13, причём это разложение единственно.

Решение

Обозначим через s число сторожей в бригаде, через b число бригад, а через n — число ночей, которые проспал один сторож. Тогда s . b . n = 1001. Но 1001 = 7 . 11 . 13, причём числа 7, 11, 13 — простые. Учитывая, что по условию s < n < b, получаем s = 7. Попробуйте теперь решить задачу 2 для 7 класса!

Ответ

7.

7. Решить в целых числах уравнение xy=x+y.

Подсказка

Выразите x через y. Есть другая возможность: перенести все слагаемые в одну часть.

Решение

Первое решение Выразим одно переменное через другое x=y:(y-1), что можно преобразовать следующим образом x=1+1:(y-1), а последняя дробь будет целым числом только при y=0 и y=2. Ответ: (0;0), (2,2) Второе решение Уравнение можно преобразовать к виду xy-x-y=0, а затем к виду (x-1)(y-1)=1. Произведение двух чисел равно единице, если оба множителя равны единице или оба множителя равны -1, отсюда два реш

8. Остап Бендер в интервью шахматному журналу о сеансе одновременной игры в Васюках сообщил, что в одной из партий у него осталось фигур в три раза меньше, чем у соперника и в шесть раз меньше, чем свободных клеток на доске, а в другой партии, фигур у него осталось в пять раз меньше, чем у соперника, и в десять раз меньше, чем свободных клеток на доске и все-таки он сумел выиграть обе партии. Можно ли верить его рассказу?

Подсказка

В обоих случаях можно составить уравнение относительно количества фигур у Бендера, которое должно решаться в целых числах.

Решение

Обозначим за N количество фигур у О.Бендера. В первом случае N + 3*N + 6*N = 64, что невозможно. Во втором случае N + 5*N + 10*N = 64 и N = 4, что также невозможно, так как у противника при этом должно остаться 20 фигур.

Ответ

нет.

9. Решить в целых числах уравнение

xy + 3x - 5y = - 3

Решение

Рассматриваемое уравнение можно переписать в виде (x - 5)(y + 3) = - 18. Его решения в целых числах соответствуют представлениям числа -18 в виде произведения двух целых чисел.

10. Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения a2b2+a2+b2+1=2005.

Решение

Найдём все целочисленные решения этого уравнения. Разложим левую часть уравнения на множители: a2b2 + a2 + b2 + 1 = = (a2 + 1)(b2 + 1). Тогда уравнение примет вид (a2 + 1)(b2 + 1) = 2005. Теперь разложим число 2005 на множители: 2005 = 5 · 401 = = 1 · 2005. Отсюда, поскольку число 2004 не является полным квадратом, либо a2 + 1 = 5 и b2 + 1 = 401, либо a2 + 1 = 401 и b2 + 1 = 5. Решая эти уравнения, получаем, что все решения имеют вид a = ±2, b = ±20 или вид a = ±20, b = ±2.

Ответ

Например, a = 2, b = 20.

11. На рыбалке. Два рыбака поймали 80 рыб, причем 5/9 улова первого составляли караси, а 7/11 улова второго — окуни. Сколько рыб поймал каждый из них?