Подсказка
Сравните остаток от деления левой и правой части на 4.
Решение
Очевидно, что x и y разной четности и т.к. они входят симметрично, то можно считать x четным, а y нечетным. Пусть x=2k, a y=2n+1, тогда уравнение можем записать в виде 4(k2+n2+ n)+1=1975. Выражение слева при делении на 4 дает остаток 1, а 1975 при делении на 4 дает остаток 3, следовательно. эти выражения не равны. Можно по-другому кончить решение, переписав предыдущее равенство 4(k2+n2+n)=1974 и заметив, что левая часть делится на 4, а правая нет.
47. Был очень жаркий день, и четыре пары выпили вместе 44 бутылки кока-колы. Aнна выпила 2, Бетти 3, Кэрол 4 и Дороти 5 бутылок. М-р Браун выпил столько же бутылок, сколько и его жена, но каждый из других мужчин выпил больше, чем его жена: м-р Грин вдвое, м-р Вайт в три раза и м-р Смит в четыре раза. Назовите жен этих мужчин.
Подсказка
Количество возможностей ограничено, поэтому можно воспользоваться разумным перебором.
Решение
Пусть x, y, z, t - выпитое соответственно женами Брауна, Грина, Вайта и Смита. Из условия следует выполнение двух условий: x+y+z+t=14; x+2y+3z+4t==30. Вычитая из второго уравнения первое, получим y+2z+3t=16. Из последнего уравнения следует, что y, t оба нечетные, либа оба четные, т.е. остался перебор (четыре случая) из чисел 3 и 5; 2 и 4. Рассмотрев все случаи, получите ответ: Анна Смит, Бетти Вайт, Кэрол Грин, Дороти Браун.
48. У капитана Смоллетта двое сыновей и несколько дочерей. Если возраст капитана (конечно, ему меньше ста лет) умножить на количество его детей и на длину его шхуны (это целое число футов), то получится 32118. Сколько лет капитану Смоллетту, сколько у него детей и какова длина его корабля?
Подсказка
Разложите 32118 на множители.
Решение
Пусть x - число детей, которых больше трех, т.к. у капитана есть два сына и несколько дочерей; y - возраст капитана; z - длина корабля в футах. Из условия задачи следует, что xyz=32118 и 3<x,y<100. Число 32118 раскладывается в произведение простых множителей как 2*3*53*101. Есть шесть способов представления этого числа в виде трех множителей: 6*53*101; 3*101*106; 3*53*202; 2*101*159; 2*53*303; 2*3*5353. Только первое из этих разложений содержит два множителя между 3 и 100. Следовательно, у капитана 6 детей; ему 53 года; и длина его корабля равна 101 футу.
49.
Решить в целых числах уравнения a)
;
б)
.
Подсказка
Выразите одно переменное через другое
Решение
а) Выразим a через b. Получим a=7b/(b-7). Так как a целое, 7b делится на b-7. Заметим, что 7b-49 также делится на b-7, и значит их разность, то есть 49, делится на b-7. Следовательно, b-7 равно одному из делителей 49. Число 49 имеет шесть различных делителей, это -49, -7, -1, 1, 7, 49. Таким образом, b является одним из чисел -42, 0, 6, 8, 14, 56. b=0 не дает решений, а каждое оставшееся значение приводит к одному из 5 решений: (6, -42), (-42, 6), (56, 8), (8, 56), (14, 14). б) Решая аналогично, приходим к ответу: (24, -600), (-600, 24), (20, -100), (-100, 20), (650, 26), (26, 650), (150, 30), (30, 150), (50, 50).
50. Докажите, что уравнение xx+2yy=zz не имеет решений в натуральных числах.