Решение
Найдем сначала какое-нибудь
конкретное решение (эта идея, кстати,
часто помогает и при решении других
задач). Так как
,
то
и,
следовательно,
,
-
это решение нашего уравнения (одно из
многих, не более!). Итак,
Вычтем одно уравнение из
другого, обозначим
и
через
и
,
и получим
Отсюда мы видим, что
делится
на 3, а
-
на 5. Положим
,
тогда
-
здесь
,
очевидно, может быть любым целым числом.
Итак, мы получаем набор решений:
где
может
быть любым целым числом. Других решений,
конечно, нет.
40.
Найдите все целые решения уравнения
.
Ответ
,
;
-
любое целое число.
41.
.
Ответ
Решений в целых числах нет.
42.
.
Ответ
,
или
,
,
причем знаки выбираются независимо.
43. Найдите все целые решения уравнения yk=x2+x, где k - фиксированное натуральное число, большее 1.
Подсказка
Разложите правую часть на множители и используйте взаимную простоту этих множителей.
Решение
Имеем: yk=x2+x=x(x+1). Числа x и x+1 взаимно просты при любом целом x, поэтому делиться на некоторое простое число p может только одно из чисел x, x+1. Если y делится на некоторое простое p, то это p входит в разложение на простые множители только в одно из чисел x, x+1, причем в такой же степени, в какой p входит в разложение числа yk. Из сказанного выше можно сделать вывод о том что каждое простое p входит в разложение чисел x, x+1 в степени, кратной k. Это означает, что x и x+1 являются k-ми степенями целых чисел. Ясно, что имеется ровно две пары последовательных целых чисел, являющихся k-ми степенями при k>1 - (-1;0) и (0;1). Таким образом, x может принимать только 2 значения: 0 и -1. Остается проверить, что оба эти значения подходят и в обоих случаях y=0.
Ответ
при любом k>1 имеется 2 решения - (0;0) и (-1;0).
44. Найдите все пары натуральных чисел (x,y), удовлетворяющие уравнению xy-x+4y=15.
Подсказка
Прибавьте к обеим частям уравнения такое число, что левая часть раскладывается на множители.
Решение
Прибавим к обеим частям уравнения по -4, получим xy-x+4y-4=11. Преобразуем левую часть следующим образом: xy-x+4y-4=x(y-1)+4(y-1)=(x+4)(y-1)=11. Поскольку (x+4) и (y-1) должны быть целыми неотрицательными числами, (x+4) и (y-1) являются положительными делителями числа 11. Отсюда получаем 2 возможности (так как 11 - простое число): x+4=1, y-1=11 и x+4=11, y-1=1. Первая возможность отпадает, так как x получается равным отрицательному числу (-3). Во втором случае получаем решение: x=7, y=2.
Ответ
x=7, y=2.
45. Доказать, что уравнение m2 + n2=1980 не имеет решений в целых числах.
Подсказка
Числа m и n одной четности
Решение
Если числа m и n разной четности, то выражение слева будет нечетным, и равенства не будет. Если оба числа нечетные, т.е. m=2k+1 и n=2s+1, то m2 + n2= 4(k2+k+s + s2)+2 не делится на четыре, а правая часть делится,т.е. равенство невозможно. Если оба четные, то m=2k и n=2s, то k2 + s2=495. Следовательно, k,s разной четности. Не нарушая общности можно считать, что k=2p+1 и s=2q. Тогда 4(p2+p + q2)=494, но равенство невозможно, ибо правая часть не делится на 4.
46. Доказать, что уравнение x2 + y2=1975 не имеет решений в целых числах.