Решение

Задача сводится к решению в целых положительных числах уравнения x² – y² = 124, которое можно переписать в виде (x – y)(x + y) = 124. Пусть (x,y) — решение этого уравнения. Предположим, x и y имеют разную четность (то есть одно из них нечетно, а другое — четно). Тогда числа x – y и x + y — оба нечетные, значит, их произведение нечетно и не может быть равно 124. Поэтому x и y имеют одинаковую четность (то есть либо оба нечетные, либо оба четные), значит числа x + y и x – y четные. Единственный способ разложить число 124 на два четных сомножителя — это 2 • 62. Значит сумма чисел x и y равна 62, а разность — 2. Откуда x = 32, y = 30. Первоначальный лист бумаги содержал 32² = 1024 клетки.

28. Найти все целые положительные решения уравнения (n+2)!-(n+1)!-(n)!=n²+n⁴.

Подсказка

Воспользуйтесь равенствами (n+1)!=(n+1)*n! и (n+2)!=(n+2)(n+1)*n!.

Решение

Первое решение Если воспользоваться равенствами (n+1)!=(n+1)*n! и (n+2)!=(n+2)(n+1)*n!, то уравнение можно переписать в виде n!*((n+2)*(n+1)-(n+1)-1)=n²*(n²+1) или n!*(n+2)*n =n²*(n²+1). Проверяем, что n=1 и n=2 не являются решениями, а n=3 является решением. Покажем, что при n>3 или n-2>1 равенство не выполняется. Действительно, перепишем уравнение (n-2)!*(n+2)*(n-1)=(n²+1) или (n²+1)≥ (n+2)*(n-1). Преобразовывая (раскрывая скобки), получим n≤ 3. Ответ: n=3. Второе решение Перепишем уравнение в виде n! =(n*(n²+1))/(n+2). Преобразовывая правую часть, получим n!=n²-2n+5-10:(n+2). Последняя дробь будет целым числом при n=3 и n=8, но последнее число не является решением (подставьте!).

Ответ

n=3.

29. Найдите все натуральные m и n, для которых выполняется равенство: m! +12 = n².

Решение

При m5 значение m! кратно 2 и кратно 5, то есть, десятичная запись этого числа оканчивается нулем, поэтому, число m! + 12 оканчивается цифрой 2, следовательно, оно не может быть квадратом натурального числа. Последовательно проверив значения m = 1; 2; 3; 4, получим, что m = 4; n = 6. Ответ: m = 4; n = 6.

Ответ

m = 4; n = 6.

30. Продолжение задачи 32796) Очень скучно смотреть на черно-белый циферблат, поэтому Клайв ровно в полдень закрасил число 12 красным цветом, и решил через каждые 57 часов закрашивать текущий час в красный цвет. а) Сколько чисел на циферблате окажутся покрашенными? б) Сколько окажется красных чисел, если Клайв будет красить их каждый 2005-й час?

Решение

а) Поскольку НОД(12,57)=3, то красным окажется каждый третий час: 12, 3, 6 и 9 часов. б) Аналогично, так как НОД(12,2005)=1, то все часы окажутся красными. Произойдет это, правда, почти через 3 года.

Ответ

а) 4 числа; б) все 12 чисел.

31. Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 3n²+n+1 при натуральном n?

Подсказка

Ответ: 3.

Решение

При n=8 сумма цифр числа 3n²+n+1 равна 3. Убедимся, что меньше сумма цифр не бывает. Действительно, число 3n²+n+1 всегда нечетно и больше 1, поэтому сумма его цифр не может быть равна 1. Если она равна 2, то это число должно иметь вид 10^k+1, тогда 3n²+n=(3n+1)n=10^k. Числа (3n+1) и n взаимно просты, следовательно либо меньшее из них (n) равно 1, а большее (3n+1) - 10^k, либо n=2^k, а 3n+1=5^k. Первый случай, как легко проверить, невозможен. Во втором случае значения k=0,1 легко проверить непосредственно, а при k не меньше 2 получаем, что 5^k/2^k>5²/2²>4>(3n+1)/n.

Ответ

3.

32. а) В трехзначном числе зачеркнули первую цифру слева, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили исходное трехзначное число. Найдите такое число. б) В трехзначном числе зачеркнули среднюю цифру и получили число в 6 раз меньше исходного. Найдите такое трехзначное число.

Подсказка

Воспользуйтесь общепринятым обозначением числа

Решение

а) запишем или тогда x делится на 3, т.е. x=3,6,9. Два последних значения не подходят, т.к. иначе будет трехзначным числом. Ответ: 350. б) Аналогично имеем или 40x+10y=5z, 8x+2y=z. Последнее равенство верно (мы ищем цифры числа) только при x=1, y=0, z=8. Ответ: 108

33. Может ли произведение 2002 последовательных натуральных чисел являться 2002-й степенью натурального числа?

Подсказка

Это число может быть только одним из этих 2002 последовательных натуральных чисел.

Решение

Предположим, что это возможно: пусть n и a - такие натуральные числа, что П = n(n+1)(n+2)...(n+2001) = a²⁰⁰². Заметим, что n²⁰⁰² < П < (n+2001)²⁰⁰². Это означает, что число a таково, что n < a < n+2001. Следовательно, a является одним из чисел (n+1), (n+2), ... , (n+2000). Значит, П = n(n+1)(n+2)...(n+2001) делится на (a+1). Но поскольку a и (a+1) взаимно просты, число a²⁰⁰² не может делиться на (a+1). Тем самым, мы получили противоречие, показывающее, что число П не является 2002-й степенью натурального числа.

Ответ

не может.

34. Хулиганы рвут стенгазету. Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причем Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1988 обрывков. Докажите, что нашли не все кусочки.