Подсказка
Обратите внимание: улов первого рыболова кратен 9, а второго — кратен 11.
Решение
Из условия задачи следует, что улов первого рыболова кратен 9, а второго — кратен 11. Таким образом, мы должны представить число 80 в виде суммы 80 = 9А + 11B, где А и B — натуральные числа. Поскольку B может принимать только 7 значений от 1 до 7, то просто переберем эти 7 вариантов и посмотрим , при каком из них число 80 − 11B будет кратно 9. Итак, когда B принимает значения от 1 до 7, числа 80 − 11B, соответственно принимают значения 69, 58, 47, 36, 25, 14, 3. Только одно из них (36) нам подходит. Это значит, что первый рыбак поймал 36 рыб (из них 20 карасей), а второй рыбак поймал, соответственно, 44 рыбы (из них 28 окуней).
12. Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
а) x2 - y2 = 1993;
б) x3 - y3 = 1993;
в) x4 - y4 = 1993?
Подсказка
Разложите левую часть на множители.
Решение
а) Разложим левую часть на множители. Имеем: (x - y)(x + y) = 1993. То есть и x - y, и x + y являются делителями числа 1993. Учитывая, что число 1993 простое (то есть делится только на себя и на 1), получаем: либо x - y = 1, x + y = 1993, либо x - y = 1993, x + y = 1. Второй случай, очевидно, невозможен для натуральных x и y, а в первом случае находим x = 997, y = 996.
б) Разложим левую часть на множители. Имеем: (x - y)(x2 + xy + y2) = 1993. Учитывая, что число 1993 простое, получаем: либо x - y = 1, x2 + xy + y2 = 1993, либо x - y = 1993, x2 + xy + y2 = 1. Решений нет.
в) Разложим левую часть на множители. Имеем: (x2 - y2)(x2 + y2) = 1993. Учитывая, что число 1993 простое, получаем: либо x2 - y2 = 1, x2 + y2 = 1993, либо x2 - y2 = 1993, x2 + y2 = 1. Решений нет.
Ответ
а) да; б) нет; в) нет.
13. Решите в натуральных числах уравнение: а) x2 – y2 = 31; б) x2 – y2 = 303.
Подсказка
Разложите выражение x2 – y2 на множители.
Решение
x2 – y2 = (x – y)(x + y).
а) Так как произведение равно простому числу 31, то больший множитель равен 31, а меньший — 1. Из системы уравнений x – y = 1, x + y = 31 следует, что x = 16, y = 15.
б) Число 303 раскладывается на два множителя двумя способами: 1 303 и 3 101. Из системы уравнений x – y = 1, x + y = 303 следует, что x = 152, y = 151. Из системы уравнений x – y = 3, x + y = 101 следует, что x = 52, y = 49.
Ответ
а) x = 16, y = 15.
б) x = 152, y = 151 или x = 52, y = 49.
14. Из одной бактерии получилось 1000 следующим образом: вначале одна бактерия разделилась на две, затем одна из получившихся двух бактерий разделилась на две, затем одна из получившихся трех бактерий разделилась на две и так далее. Докажите, что в некоторый момент существовала такая бактерия, число потомков которой среди 1000 бактерий, получившихся в конце, не меньше 333 и не больше 666.
Подсказка
Иначе найдется бактерия, которая имеет больше 666 потомков, а каждая из бактерий, на которые она разделилась, имеет меньше 333 потомков.
Решение
Предположим противное, т.е. не существует бактерии с числом потомков, равным одному из чисел 333, 334, ... , 666. Тогда ясно, что одна из бактерий, на которые разделилась первая бактерия, имеет больше 666 потомков. Рассмотрим эту бактерию. Если одна из бактерий, на которые она разделилась, имеет больше 666 потомков, то рассмотрим ее и т.д. В конце концов мы придем к бактерии A, которая имеет больше 666 потомков, а каждая из бактерий B,C, на которые она разделилась, имеет меньше 333 потомков. Но потомки бактерии A - это потомки бактерий B,C, а также сами бактерии B и C, поэтому число потомков A не больше 332+332+1+1=666. Мы получили противоречие, завершающее доказательство.
15. Существуют ли 4 подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является степенью (большей 1) другого натурального числа?
Подсказка
Рассмотрите остатки от деления на 4.
Решение
Среди четырех последовательных натуральных чисел одно дает остаток 2 от деления на 4. Значит, оно делится на и не делится на 4, т.е. не может являться степенью, большей 1.
Ответ
не существуют.
16. Решите в целых числах уравнение: x3 + x2 + x – 3 = 0.
Подсказка
Перенесите 3 вправо и разложите левую часть на множители.
Решение
x(x2 + x + 1) = 3.
Отсюда x может равняться 1, –1, 3, –3. Непосредственной проверкой можно убедиться, что корнем является только x = 1.
Ответ
x = 1.
17.
Найдите все целые решения уравнения
.
Решение
Это уравнение не имеет целых решений. Левая часть делится на 3, в то время как правая часть не делится на 3.
18. Докажите, что уравнение x!y!=z! имеет бесконечно много решений в натуральных числах, больших 1 (через n! обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до n).
Подсказка
Подберите решения таким образом, чтобы x и z были соседними натуральными числами.
Решение
Подберем решения таким образом, чтобы x и z были соседними натуральными числами. Положим y=m, x=m!-1, z=m!, где m - произвольное натуральное число. Легко видеть, что тройка чисел x,y,z такого вида удовлетворяет уравнению x!y!=z! - правая и левая части уравнения равны (m!)!.
19. Докажите, что уравнение 1:а+1:b+ 1:c+1:d+1:e+1:f= 1 не имеет решений в нечетных натуральных числах.
Подсказка
Мысленно приведите к общему знаменателю
Решение
Если привести к общему знаменателю, то в знаменателе получим нечетное число, а числитель является суммой шести нечетных чисел, т.е. четным числом, следовательно, такая дробь не может быть равна единице
20. Найдите все такие простые числа p и q, для которых выполняется равенство p2 - 2q2 = 1.
Решение
Перепишем уравнение в виде 2q2 = (p - 1)(p + 1). Заметим, что p — непременно нечетное простое число. Отсюда q — четное. Поэтому q = 2. Значит p = 3.
21. На автобусе ездил Андрей На кружок и обратно домой, Заплатив 115 рублей, Покупал он себе проездной. В январе он его не достал, И поэтому несколько дней У шофёра билет покупал Он себе за 15 рублей. А в иной день кондуктор с него Брал 11 только рублей. Возвращаясь с кружка своего Всякий раз шёл пешком наш Андрей. За январь сколько денег ушло, Посчитал бережливый Андрей: С удивлением он получил Аккурат 115 рублей! Сосчитайте теперь поскорей, Сколько раз был кружок в январе?