Решение

Если Петя n раз рвал куски, то он добавил 4n кусков, если Вася рвал k кусков, то он добавил 8k кусков, а тогда всего кусков получилось 1 + 4n + 8k, а равенство 1 + 4n + 8k = 1988 невозможно ни при каких натуральных k и n, так как слева стоит нечетное число, а справа четное.

35. Автор: Н. Васильев

Докажите, что уравнение x²+y²-z²=1997 имеет бесконечно много решений в целых числах.

Решение

Укажем бесконечную серию решений. Пусть x = 2k — произвольное чётное число, а y и z связаны равенством y = z + 1. Тогда 1997 – x² — нечётное число, а y² – z² = (y + z)(y – z) = 2z + 1. Положив z = 998 – 2k², получаем решение (x, y, z) = (2k, 999 – 2k², 998 – 2k²).

36. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?

а) Найдите хотя бы одно решение.

б) Найдите все решения и докажите, что других нет.

Подсказка

105 = 3 ^. 5 ^. 7, причём это разложение единственно.

Решение

Обозначим через p число подъездов в доме, через f — число этажей, а через k — число квартир на этаже. Тогда p ^. f ^. k = 105. Но 105 = 3 ^. 5 ^. 7, причём числа 3, 5, 7 — простые. Учитывая, что по условию p < k < f, получаем f = 7. Попробуйте теперь решить задачу 3 для 6 класса!

Ответ

а) 7; б) других решений нет.

37. Найдите хотя бы две пары натуральных чисел, для которых верно равенство 2x³ = y⁴.

Подсказка

Заметив, что x = 2, y = 2 — решение, попробуйте найти ещё одно в виде x = 2^k, y = 2ⁿ.

Решение

Заметим, что x = 2, y = 2 — решение. Попробуем найти ещё одно в виде x = 2^k, y = 2ⁿ, подобрав подходящие k и n.

Имеем

2 ^. (2^k)³ = (2ⁿ)⁴,

или

2^{3k + 1} = 2⁴ⁿ.

Осталось подобрать k и n так, чтобы было выполнено равенство 3k + 1 = 4n. Ну, а это уже совсем просто. Например, k = 5, n = 4 и, соответственно, x = 32, y = 16.

Ответ

x = 2, y = 2; x = 32, y = 16.

38. Имеется 20 бусинок 10-ти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

Подсказка

Рассмотрите коробку с одной бусинкой, если такая имеется.

Решение

Ясно, что пустых коробок нет. Если имеется коробка, в которой находится только одна бусинка, то эта бусинка в любом случае должна быть выбрана. Уберем эту коробку с бусинкой, а также вторую бусинку того же цвета (из другой коробки). Останутся 18 бусинок, разложенные в 9 коробок. Количество способов выбрать по бусинке из каждой коробки осталось при этом тем же, что и в исходной задаче. Будем продолжать действовать так до тех пор, пока имеются коробки, содержащие всего одну бусинку. Пустых коробок при этом появиться не может, т. к. это привело бы к противоречию с условием задачи: в этом случае не существовало бы ни одного способа требуемого выбора. В результате останется 2n бусинок, разложенных в n коробок, по две в каждой. Будем выстраивать коробки в "цепочку" так, чтобы соседними были коробки, содержащие бусинки одного цвета (аналогично правилам игры в домино). Это можно делать до тех пор, пока цепочка не "замкнётся", т. е. на концах не будут находиться коробки, содержащие бусинки одного цвета. Все коробки при этом разобьются на несколько цепочек (в частности, если коробка содержит две бусинки одного цвета, то цепочка состоит из неё одной). Ясно, что выбрав одну из двух бусинок в любой из коробок, мы однозначно определяем выбор бусинок из других коробок той же цепочки и никак не ограничиваем выбор бусинок из коробок других цепочек. Поэтому общее количество способов требуемого выбора равно 2k, где k - количество получившихся цепочек.

39. Решите уравнение в целых числах.