Упражнения
1. Случайная
величина Х
распределена по нормальному закону,
причем
.
Найти
,
если известно
.
2. Автомат
изготавливает подшипники, которые
считаются годными, если отклонение Х
от проектного размера по модулю не
превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное
число годных подшипников из 100, если
случайная величина Х
распределена нормально с параметром
мм?
3. Станок-автомат
изготавливает валики, контролируя их
диаметры Х.
Считая, что случайная величина Х
распределена нормально с параметрами
мм,
мм,
найти интервал, в котором с вероятностью
0,9973 будут находиться диаметры изготовленных
валиков.
4. Найти
для случайной величины, распределенной
по нормальному закону с параметрами а
и
.
5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия этой величины соответственно равны 7 и 16. Найти вероятность того, что отклонение величины Х от ее мате-матического ожидания по модулю не превзойдет двух.
6. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.
4.6. Некоторые другие распределения
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью вероятностей
где
– постоянная положительная величина.
Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.
Функция распределения показательного закона имеет вид
Вероятность
попадания в интервал
непрерывной случайной величины
Х, которая
распределена по показательному закону,
равна
.
Нетрудно вычислить числовые характеристики показательного распределения:
,
,
.
Пример
4.6.1.
Непрерывная величина Х
распределена по показательному закону:
при
,
.
Найти вероятность попадания значений
величины Х
в интервал
.
Пример
4.6.2. Найти
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х,
плотность распределения которой задана
функцией
.
.
Дискретная случайная
величина Х
имеет геометрическое распределение,
если она принимает значения
(счетное множество значений) с вероятностями
.
Определение является корректным, так как сумма вероятностей
.
Случайная величина Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний Бернулли до первого успеха.
Математическое ожидание и дисперсия Х:
Пример 4.6.3. В большой партии изделий вероятность брака равна р. Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. Обнаружилось, что бракованное изделие впервые появилось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность р.
Пусть Х
– число испытаний до первого появления
бракованного изделия. Эта случайная
величина имеет геометрическое
распределение. По условию ее среднее
значение равно
Так как
то
.
Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения т с вероятностями
,
где
Вероятность
является вероятностью выбора m
объектов, обладающих заданным свойством,
из множества п
объектов, случайно извлеченных (без
возврата) из совокупности N
объектов, среди которых М
объектов обладают заданным свойством.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами п, М, N:
Пример 4.6.4. Среди продукции цеха электронных плат 10 из партии в 100 штук не удовлетворяют стандарту. При приемке продукции проверяются 10 плат. Какое среднее количество нестандартных плат обнаружат?
Количество нестандартных плат имеет гипергеометрическое распределение, так как
то
