Задача замены оборудования
Имеется оборудование, которое эксплуатировалось уже три года. Можно реализовать его по остаточной стоимости и купить новое за 100 тыс. д. е. Можно продолжать его эксплуатировать, но не более чем до шестилетнего возраста. При этом прибыль из-за увеличения простоев и затрат на обслуживание с каждым годом будет убывать так же как и остаточная стоимость. Требуется определить оптимальную политику замены оборудования на предстоящие четыре года на основании данных, приведенных в таблице.
Таблица 6.1
|
Возраст оборудования, t (года) |
Прибыль за год, R(t) тыс. д. е. |
Остаточная стоимость, S(t) тыс. д. е.
|
|
0 |
33 |
– |
|
1 |
32 |
80 |
|
2 |
31 |
60 |
|
3 |
27 |
50 |
|
4 |
24 |
40 |
|
5 |
21 |
20 |
|
6 |
17 |
10 |
Таким образом, в начале каждого года надо принимать решение либо о продолжении эксплуатации, либо о замене оборудования. Очевидно, что оптимальная последовательность управляющих решений должна обеспечить максимальную суммарную прибыль с учетом реализации оборудования в конце периода.
Решение задач методом динамического планирования всегда предполагает выделение трех следующих основных элементов.
1. Определение шагов.
2. Определение вариантов управляющих решений.
3. Определение состояний на каждом шаге.
Для рассматриваемой задачи за шаг удобно
принять порядковый номер года принятия
решения
.
Конечно, можно использовать и обратную
нумерацию, примененную при постановке
задачи динамического планирования в
общем виде. Вариантами управляющих
решений будут продолжение эксплуатации
или замена оборудования. В последний
год решение безальтернативное и сводится
к реализации оборудования по остаточной
стоимости. Состояние на k-м
шаге – это возраст оборудования на
начало соответствующего года, т. е. к
моменту принятия решения. На рис. 6.2
приведена сетевая модель задачи. Возраст
оборудования к моменту принятия решения
записан в кружке. В начале первого года
имеется оборудование трехлетнего
возраста. При продолжении его эксплуатации
(это решение отображено линией из точек),
возраст станет четыре года. Если
оборудование заменить (сплошная линия),
то после года эксплуатации оно станет
однолетним. По истечении четырехлетнего
периода оборудование реализуется по
остаточной стоимости (пунктирные линии).
Рис. 6.2
Пусть
‑ максимальная прибыль, получаемая
за годы от k-го
до последнего
при условии, что в начале k-го
года имеется оборудование t-летнего
возраста. Тогда функциональное
рекуррентное уравнение
Беллмана приобретет вид:
,
где
‑ прибыль за год, если в начале года
возраст оборудования t,
‑ остаточная стоимость имеющегося
оборудования,
‑ стоимость нового оборудования.
Выполним расчет в табличной форме (см.
табл. 6.2), начиная с последнего шага. По
его завершении оборудование реализуется,
следовательно, при его сохранении
,
а при замене
.
Заметим, что для расчета таблиц можно и нужно использовать вычислительную технику. Тогда просто получать варианты, возникающие при изменениях в исходных данных. Для таких расчетов вполне достаточно возможностей такого пакета, как Excel.
Таблица 6.2
Шаг 4
|
|
Сохранение |
Замена |
Оптимум |
|
|
t |
|
|
|
Решение |
|
1 |
32 +60 = 92 |
33 +80 ‑100 +80 = 93 |
93 |
Замена |
|
2 |
31 +50 = 81 |
33 +60 ‑100 +80 = 73 |
81 |
Сохранение |
|
3 |
27 +40 = 67 |
33 +50 ‑100 +80 = 63 |
67 |
Сохранение |
|
6 |
Только замена |
33 +10 ‑100 +80 = 23 |
23 |
Замена |
Шаг 3
|
|
Сохранение |
Замена |
Оптимум |
|
|
t |
|
|
|
Решение |
|
1 |
32 +81 = 113 |
33 +80 ‑100 +93= 106 |
113 |
Сохранение |
|
2 |
31 +67 = 98 |
33 +60 ‑100 +93= 86 |
98 |
Сохранение |
|
5 |
21 +23 = 44 |
33 +20 ‑100 +93= 46 |
46 |
Замена |
Шаг 2
|
|
Сохранение |
Замена |
Оптимум |
|
|
t |
|
|
|
Решение |
|
1 |
32 +98 = 130 |
33 +80 ‑100 +113= 126 |
130 |
Сохранение |
|
4 |
24 +46 = 70 |
33 +40 ‑100 +113= 86 |
86 |
Замена |
Шаг 1
|
|
Сохранение |
Замена |
Оптимум |
|
|
t |
|
|
|
Решение |
|
3 |
27 +86 = 113 |
33 +50 ‑100 +130= 113 |
113 |
Любое |
Анализируя сведения таблицы, начиная с первого шага, получаем два оптимальных решения, которые выделены на рис. 6.3 жирными линиями. Суммарная выручка составляет 113 тыс. д. е., первоначальная остаточная стоимость 50 тыс. д. е. Непосредственные эффекты на каждом шаге для оптимальных вариантов приведены около соответствующих стрелок. На основе имеющихся исходных данных их просто вычислить. Если их рассчитать для всех возможных вариантов, то оптимальное решение задачи сведется к нахождению маршрута максимальной длины.
Рис. 6.3