4. Типове завдання на тему:

“Множинна лінійна регресія з обліком мультиколінеарності факторів і перевірки наявності автокореляції залишків за даними вибірки” і його розв’язок.

¹	х1	х2	х3	Y
1	2,9	5,4	3.2	61,1
2	7,1	8,8	6,9	122,5
3	2	8,4	1,9	59,5
4	9,6	7,7	10	151,3
5	6,7	1,4	6,2	86
6	0,7	1,8	0,5	17,2
7	6,9	2,1	6,9	93,8
8	8,8	9,1	8,4	142,2
9	4.5	8,7	4,6	92,2
10	0,3	4,9	0,1	24,6
11	6,8	6,1	6,7	108,4
12	6.5	1,8	6,1	85,7
13	8,9	0.1	8,9	110,2
14	2	0.6	1,6	26,5
15	6.6	3,8	6,6	97
16	2,1	0,2	2,4	30,9
17	9,4	1,8	9,3	122
18	1	7,7	0,9	45,2
19	3	6,6	3,4	68,1
20	9,4	9,4	9,1	151,5

Розв’язок.

1. Перевіримо систему факторів х₁, х₂, х₃, використовуючи алгоритм методу Фаррара-Глобера, на мультиколінеарність.

а) Для обчислення кореляційної матриці R знаходимо вибіркові парні коефіцієнти кореляції між факторами за формулами (3.2.)

Для цього обчислюємо вибіркові середні факторів

(k = 1; 2; 3) і показники , а також їхніх виправлених дисперсій за формулами

У результаті одержимо:

Вибіркові парні коефіцієнти кореляції між факторами розраховувалися за формулами:

Як результат, отримуємо

r_х1х2 = 0,1; r_х1х3 = 0,95; r_х2х3 = 0,1

Тоді кореляційна матриця системи факторів х₁, х₂, х₃

б) Обчислюємо визначник кореляційної матриці |R| і розрахункове значення

За таблицею - розподілу знаходимо (0,05; 3)=7,8. Тому, що > , то система факторів мультиколінеарна.

в) Для визначення мультиколінеарності факторів знайдемо С=R^-1, елементи якої шукаються за формулою , де - алгебраїчні доповнення до відповідних елементів кореляційної матриці.

Знайдемо алгебраїчні доповнення R_ij

Одержали

г) Обчислюємо F_i - статистики для визначення мультиколінеарних факторів за формулою (3.5)

де

Тоді

За таблицею для F - статистики знаходимо F_кр(0,05; 2; 17) = 3,59. Тому, що (F_р)₁ і (F_р)₃ більше F_кр, то фактори х₁ і х₃ мультиколінеарні з довірчою імовірністю 0,95.

г) Для визначення пар мультиколінеарних факторів знаходимо часткові коефіцієнти кореляції між ними за формулами (3.7)

Тоді

Обчислюємо за формулами (3.8) t - статистики

За таблицею розподілу Стьюдента знаходимо t_кр(0,05; 17) =2,11. Тому, що тільки t₁₃>t_кр, то одна пара факторів х₁ і х₃ мультиколінеарна, всі інші - ні. Тому, щоб система факторів була не мультиколінеарна, один із мультиколінеарних факторів х₁ або х₃ , наприклад х₃, виключаємо із системи факторів

2) Знаходимо оцінку залежності показника у від факторів, що залишилися, х₁ і х₂. Як модель залежності вибираємо лінійну, причому подану в стандартизованій формі (2.14).

,

а) для знаходження - коефіцієнтів застосуємо (2.19)

,

Запишемо кореляційну матрицю R для факторів, що залишилися , х₁ і х₂.

Тоді і

Знайдемо r_x1y і r_x2y, за формулою

Одержали

3) Знаходимо за формулою (3.16) коефіцієнти детермінації і множинної кореляції

D=R²=0,9^.0,87 + 0,31^.0,4 = 0,9

Знаходимо коректовані і за формулою (3.14)

4) Перевіряємо знайдені - коефіцієнти на значимість відмінності від нуля. Для цього за формулою (3.21) знаходимо розрахункові значення t-критерію.

k=1; 2 де

Тому що , то

Тоді

За таблицею розподілу Стьюдента t_кр(0,05; 17) = 2,11. Тому, що розрахункові значення t_р більше t_кр, то значуще відрізняються від нуля з достовірністю 0,95, тобто вплив х₁ і х₂ на у значуще.

5) У результаті отримана стандартизована модель залежності

t_y = 0,87t_x1 + 0,31t_x2

Перейдемо від стандартизованої залежності до залежності у нормальній формі за формулами (2.15)

Тоді

6) Знайдемо залишки u_j = y_j - y_j = y_j - 6,04 - 11,4x_j1 - 3,9x_j2 і перевіримо наявність автокореляції за критерієм Дарбіна-Уотсона з використанням формули (3.37)

,

У результаті рахунку d=2,83 (d>2), тобто будемо досліджувати залишки на наявність негативної автокореляції і розглядати статистику 4 - d = 4- -2,83=1,17. З таблиці для числа факторів n=2 і кількість вимірів m=20 d_L=1,1, а d_v=1,54. Тому що d_L<d<d_v, критерій Дарбіна-Уотсона не дає відповіді на питання про автокореляцію залишків. Тому застосуємо критерій Неймана. Для статистика Неймана Q = . Критичне значення Q - статистики для рівня значимості; m = 20 [5] Q_u=3,12. Тому що Q<3,12, то не існує з довірчою імовірністю 0,95 автокореляція залишків. Виходить, специфікація моделі підібрана вірно.

7) Перевіримо адекватність отриманої моделі. Для цього за критерієм Фішера досліджуємо значимість коефіцієнта детермінації D. Розрахункове значення критерію

За таблицею розподілу Фішера для рівня значимості F_кр(2; 17)= = 3,59. Тому що F>F_кр, те D - значуще відрізняється від нуля, тобто лінійна модель адекватна дійсній залежності.

8) Знайдемо довірчі інтервали для регресії, наприклад, у точки х₁=6,7; х₂=1,7, застосувавши (3.52)

Знайдемо нормалізовані значення х₁ і х₂.

Знайдемо розрахункове нормалізоване значення за отриманою стандартизованою моделлю:

Тоді

Для рівня значущості за таблицею розподілу Стьюдента t_0,05(17)=2,11

Отже,

Одержали довірчі інтервали для регресії у точці х₁=6,7; х₂=1,7

89,4-4,56<y(6,7; 1,7)<89,4+4,56

84,70<y(6,7; 1,7)<93,82 із довірчою імовірністю 0,95.

Таблиця 2

Р озрахунок параметрів рівняння множинної регресії в електронних таблицях Excel

Продолжение таблицы 2

Список літератури

1. Клас А., Герли Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое

моделирование. -М.: Статистика, 1978 - с.123

2. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика.

-М.: Финансы и статистика, 1982 -с.320

3. Джонсон Дж. Эконометрические методы. -М.Статистика,

1980 - с.437

4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А.

Эконометрика начальный курс. -М.: Дело, 1997 -с.248

5. Черниченко В.Е. Методические указания по курсу “Методы

и модели прогнозирования” на тему “Автокорреляционные

методы во временных рядах” для студентов экономического

факультета всех форм обучения. - Днепродзержинск, ДГТУ,

1997-с.24

Навчальний посібник щодо виконання лабораторних робіт з курсу «Економетрія» для студентів економічного факультету денної та заочної форм навчання зі спеціальностей 7.050106 - «Облік та аудит», 7.050107, 7.050107 с - «Економіка підприємства», 7.050108 - «Маркетинг», 7.050201 - «Менеджмент організацій»

Укладачі: доцент   В.Є. Черніченко,

    М.Ю. Юхименко

Відповідальній за випуск доц. В.І. Валентьєв

Видавничий відділ КДПУ Тираж_________прим.

К

РЕМЕНЧУК 2001

56