3.6. Автокореляція залишків у економетричних моделях

3.6.1. Природа автокореляції

Відхилення фактичних даних показника y від розрахункових значень, отриманих із знайденої лінії регресії,

j = 1, 2, ... , m (3.24)

з огляду на основну вимогу (2.1), можна представити як

(3.25 )

з (3.25) випливає, що відхилення можуть бути наведені у вигляді суми двох складових: невипадкової, що є помилкою наближення істинної залежності f лінійної регресії, і випадкової . Випадкові помилки задовольняють, за нашими припущеннями, вимогам а); б); в).

Якщо функція f нелінійна, тобто вигляд моделі обраний невдалий або, якщо f лінійна, але у моделі не враховані всі фактори (1<n), то, мабуть, можна сумніватися у незалежності відхилень u_j одне від іншого. Це означає, що вимога (б) може не виконуватися для u_j. Тому, якщо послідовні значення корелюють між собою, то говорять, що має місце автокореляція залишків. Метод найменших квадратів і у випадку автокореляції залишків дає незміщені й достатні оцінки параметрів a_i [3]. Однак одержувані за наявності високої автокореляції стандартні помилки цих оцінок і, відповідно, їхні довірчі інтервали мають мало змісту в силу своєї ненадійності.

Проілюструємо проблему автокореляції на прикладі простої залежності між двома перемінними.

Нехай y_j = a₀ + a_ix_j + u_j (3.26)

де u_j = p . u_j-1 + (3.27)

тобто u_j корельовано з коефіцієнтом кореляції , причому

(3.28 )

Тоді

(3.29 )

Тоді в силу (3.28) М(u_j) = 0 і

В силу того, що |p|<1, то 1 + ² + ⁴ +... = і (3.30)

А коваріація

Аналогічно (3.31)

З (3.31) можна одержати вираження коефіцієнта автокореляції S-го порядку

(3.32 )

Тоді можна показати, що для відхилень буде виконуватися

(3.33)

тобто для порушується гіпотеза

3.6.2. Наслідки, що викликаються автокореляцією залишків

Застосування М.Н.К. до моделі з автокореляційними збуреннями типу (3.26) приводить до трьох основних наслідків.

По-перше, хоча оцінки параметрів не зміщені, вибіркові дисперсії цих оцінок можуть виявитися невиправдано більшими порівняно з дисперсіями, отриманими при застосуванні дещо змінених методів оцінювання.

По-друге, при застосуванні М.Н.К. для вибіркових дисперсій коефіцієнтів регресії одержується серйозна недооцінка цих дисперсій, що не дозволяє застосовувати t і F - статистики для перевірки значимості коефіцієнтів регресії і детермінації.

По-третє, утворюються неефективні прогнози, тобто прогнози з надмірно великою вибірковою дисперсією.

Доведемо деякі з цих стверджень, з огляду на (3.24), (3.25) і наявність автокореляції залишків, тобто (3.33).

Тоді аналогічно (2.11) можна одержати, що

var (3.34)

У випадку простої моделі (3.26) і (3.27)

(3.35 )

При застосуванні М.Н.К. величина дисперсії оцінки дорівнює , тобто не береться до уваги множник, що стоїть у дужках. Якщо >0 і значення х_і теж позитивно автокорельовані, то вираження у дужках більше 1. Тому застосування М.Н.К. призводить у цьому випадку до недооцінки правдивої вибіркової дисперсії параметра . Для ілюстрації цього припустимо, що змінна х підкоряється автокореляції з тим самим коефіцієнтом , що і для u. У цьому випадку для більшим m . Тоді вираження у дужках можна обчислити як суму убутної геометричної прогресії зі знаменником ².

(3.36 )

Вже при  = 0,5 , а при =0,8 , тобто уточнена дисперсія буде більша дисперсії, отриманої М.Н.К. більш ніж у чотири рази.

Тому у випадку автокореляції залишків при застосуванні М.Н.К. необхідно або коригування самої моделі, або коригування самого методу М.Н.К. із метою зменшення дисперсій, отриманих у моделі коефіцієнтів регресії.