II. Расчетно-графическая часть

Отчет по выполнению расчетно-графической работы со­держит: титульный лист, вариант задания, во вступительной части задания определяются основные положения и преследуемые цели расчетов. Выполнение каждого этапа задания сопровождается: по­яснением основных расчетных формул, выполнением необходи­мых процедур, анализом полученных результатов. Отчет выполня­ется на листах А4.

Имеем ряд данных натурных наблюдений (Х₁;Х₂ … Х_N).

1. Построение вариационного ряда

(Операция заключается в расположении данных натурных наблюдений в порядке возрастания Х_min … Х_max).

2. Группировка вариационного ряда — деление вариацион­ного ряда на части:

(необходимо определить: количество классов (интервалов), длину и границы каждого класса, частоту).

а) количество классов, на которые необходимо разделить вариационный ряд, определяется различными способами (4, 7, 8, 12, 14, 15): с помощью таблиц или формул; в подавляющем боль­шинстве случаев количество интервалов зависит от объема вы­борки.

Для определения количества классов используем формулу Старжесса [14]:

,

(1)

где К — количество классов;

N — объем выборки или количество значений в ряду.

б) определение длины каждого интервала:

Определение размаха или амплитуды колебания случай­ной величины:

		(2)
	,	(3)

где R — размах (мг/л);

h — длина каждого интервала.

в) определение границ каждого интервала:

1.	Xmin+h =X1	—	[Xmin; Х1]	—	границы 1-го интервала;
2.	X1 + h = X2	—	[X1; X2]	—	границы 2-го интервала;
………………………………………………………………
K.	XK-1+h =XK	—	[X K-1; XK]	—	границы K-го интервала;

г) определение эмпирической частоты.

Частота – это количество значений, попавших в каждый интервал.

3. Определение расчетных статистических характеристик (мер положения, рассеивания и характери­стики формы кривой распределения): а) определение мер положения:

Целью исследования является определение центра распре­деления:

Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства законов распределения) является первым начальным моментом и вычисляется по следую­щей формуле:

,

(4)

где X_ср — среднее арифметическое значение выборки (мг/л);

Х_i — элементы выборки (мг/л).

Если учитывать, что ряд натурных наблюдений вариаци­онный и сгруппированный, то среднее арифметическое значение можно рассчитать по следующей зависимости:

(мг/л),

(5)

где n_i — частота каждого интервала;

Х_i^*— среднее арифметическое значение каждого интервала (мг/л).

Среднее арифметическое значение каждого интервала рассчитыва­ется, как полусумма границ интервалов.

Мода (значение имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в вы­борке) определяется по формуле:

(мг/л),

(6)

где X₀ - начало модального интервала (мг/л);

n_i — частота модального интервала;

n_{(i - 1)} и n_{(i + 1)} — соответственно частоты предыдущего и после­дующего за модальным интервалов.

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана (определение серединного элемента выборки):

(мг/л),

(7)

где X₀- начало медианного интервала;

Т_{(i - 1)} — сумма частот интервалов предшествовавших медиан­ному;

n_i — частота медианного интервала.

Медианный интервал определяется по серединному элементу вариационного ряда. Если в вариационном ряду четное количество значений, то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных элемента, найти среднее арифметическое, как полусумма их. Полученное значение подставляется в границы интервалов.

б) меры рассеивания:

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент.

Согласно методу моментов дисперсия определяется по формуле:

(мг/л)2,

(8)

Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением и обозначается  (мг/л). Нор­мированное отклонение определяется коэффициентом вариации:

.

(9)

в) характеристики формы кривой распределения:

Характеристиками формы кривых распределения высту­пают третий и четвертый центральные моменты) третий централь­ный момент характеризует асимметричность ряда, т.е. неравномер­ность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формуле:

(мг/л)3.

(10)

Безразмерный коэффициент асимметрии (С_s) определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квад­ратичного отклонения.

Четвертый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения:

(мг/л)4.

(11)

Показателем остро- или плосковершинности выступает ко­эффициент эксцесса (С_е), который определяется отношением чет­вертого центрального момента к среднему квадратичному откло­нению в четвертой степени, за вычетом коэффициента три.