Контрольные вопросы

1. Что такое баллистический маятник?

2. Какой удар называется абсолютно упругим?

3. Какой удар называется неупругим?

4. Сформулируйте закон сохранения импульса.

5. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

6. Какие законы сохранения выполняются при неупругом столкновении пули с маятником?

7. Опишите все энергетические превращения, происходящие в эксперименте.

8. Выведите формулу (9).

9. *Выведите формулу, по которой можно рассчитать энергию Q перешедшую во внутреннюю энергию маятника при неупругом столкновении пули с маятником.

10. Какие в данной работе возникают погрешности измерений?

11. Какими силами пренебрегли в работе? Что изменится если их учесть?

Лабораторная работа №7 упругое соударение шаров

Цель работы: Изучить законы сохранения на примере центрального упругого удара шаров.

Приборы и принадлежности: Модульный учебный комплекс МУК-М1: рабочий узел «удар шаров», два шара разной массы.

Краткое теоретическое введение

Под процессом соударения физических тел понимают кратковременное взаимодействие тел на малых расстояниях или при контакте, которое приводит к резкому изменению величины и направления скоростей тел, а также к изменению их внутреннего состояния. Процессы соударения могут происходить как с макроскопическими телами, так и с микрочастицами (т.е. с атомами, молекулами и т.д.).

Проще всего рассматривать такие процессы в изолированных системах, состоящих из двух или нескольких тел. В такой системе всегда выполняется закон сохранения импульса. Вектор импульса всей системы тел остается неизменным по величине и направлению при любых процессах, происходящих в этой системе: при распаде тел на составные части, при слипании тел, при химических реакциях и т.д.

Сохраняется импульс и при соударениях.

Однако механическая энергия замкнутых систем физических тел, состоящая из кинетической энергии движения тел и потенциальной энергии их взаимодействия, может и не сохраняться: она может как увеличиваться так и уменьшаться. Так, если одно из тел системы разлетается на осколки под действием внутренних сил (например, при взрыве внутри тела), то при этом механическая энергия системы увеличивается за счет уменьшения внутренней энергии этого тела. Наоборот, если два каких-то тела из состава изолированной системы при столкновении соединяются в одно тело, то механическая энергия системы уменьшится, но увеличится внутренняя энергия этих тел. Подобные процессы могут происходить не только с макроскопическими телами, но и с микрочастицами. Например, если два атома при столкновении соединяются, при этом образуя молекулу, то механическая энергия образовавшейся молекулы меньше суммарной механической энергии столкнувшихся атомов, а излишек энергии переходит во "внутреннюю" энергию этой молекулы. Конечно, во всех случаях сохраняется полная энергия изолированной системы, состоящая из механической и внутренней энергии всех тел.

В принципе, можно представить себе процессы в замкнутой системе физических тел, которые происходят с сохранением механической энергии. Такие процессы принято называть упругими процессами. При этих процессах, не изменяется также внутренняя энергия всех тел, входящих в систему, т.е. не изменяется внутреннее состояние физических тел. Если таким процессом является соударение, то оно называется – абсолютно упругим соударением. Для макроскопических тел понятие абсолютно упругого соударения является идеализацией, так как хотя бы малая часть первоначальной механической энергии тел после удара переходит во внутреннюю энергию.

Для микрочастиц могут существовать и строго упругие соударения. Это связано с квантовым характером движения составных частей микрочастицы друг относительно друга. Например, пусть молекулы движутся с небольшими скоростями и имеют малые механические энергии. Колебания атомов в молекуле друг относительно друга квантуются, т.е. чтобы заставить атомы колебаться, необходимо сообщить молекуле энергию, не меньшую некоторой определенной порции. Если же сталкиваются две молекулы с малыми кинетическими энергиями, недостаточными для возбуждения колебаний, то при столкновении внутреннее состояние молекул не может измениться, и удар будет абсолютно упругим. Если же сталкивающиеся молекулы движутся с большими скоростями и имеют большие энергии, то при ударе возбуждаются колебания атомов в одной или обеих молекулах, часть энергии перейдет в энергию колебаний, и удар будет неупругим.

В данной работе рассматривается простейший случай соударения: центральный удар шаров.

Пусть два шара с массами m₁ и m₂ движутся со скоростями и , а затем сталкиваются. После соударения изменится направление их движения и величина их скорости.

Рассмотрим самый простой вид соударения - так называемый центральный удар. При этом векторы скоростей обоих шаров до удара лежат на линии, соединяющей центры шаров, причем векторы и , могут быть направлены как навстречу друг другу, так и в одну сторону. Полный импульс этой системы, состоящей из двух шаров, до их удара равен , и он направлен также вдоль линии, соединяющей центры шаров.

Рассмотрим процессы, происходящие во время удара. При ударе оба шара деформируются, и кинетическая энергия их поступательного движения переходит в потенциальную энергию деформации. При этом между шарами начинают действовать силы отталкивания, равные по величине и противоположные по направлению. В случае центрального удара скорости и , направлены обе вдоль линии центров. Следовательно, вдоль линий центров направлен и вектор относительной скорости движения шаров, т.е. . Деформация обоих шаров происходит симметричным образом относительно линии центров, и силы отталкивания тоже направлены обе вдоль этой линии в противоположные стороны. Под действием этих сил шары отходят друг от друга, деформация уменьшается, и шары постепенно восстанавливают свою форму. Потенциальная энергия их деформации переходит снова в кинетическую энергию, и шары в конце концов разлетаются. Поскольку при ударе силы упругости действуют вдоль линии центров, то шары приобретут какие-то скорости и , направленные вдоль линии центров. Таким образом, при центральном ударе шаров эти тела всегда движутся вдоль одной и той же прямой - линии их центров, поэтому этот удар и называют центральным.

Если шары изготовлены из вещества с ярко выраженными упругими свойствами, то на последней стадии соударения их деформация исчезает почти полностью, и они почти целиком восстанавливают свою первоначальную форму. При этом потенциальная энергия деформации почти полностью превращается снова в кинетическую энергию движения. В идеале можно говорить об абсолютно упругом ударе, когда такое превращение энергии осуществляется полностью. При таком ударе суммарная кинетическая энергия шаров до удара равна их кинетической энергии после удара.

В реальной жизни, конечно, форма соударяющихся шаров после удара восстанавливается не полностью, часть энергии деформации переходит во внутреннюю энергию шаров и, в конечном итоге, рассеивается в виде тепла. В кинетическую же энергию разлетающихся шаров перейдет остальная часть энергии деформации. Таким образом, реальный удар шаров является неупругим. Степень неупругости удара может быть самой различной. Если форма шаров почти полностью восстанавливается и рассеяние энергии в виде тепла мало, то удар близок к абсолютно упругому. Если же деформация шаров на конечной стадии удара остается большой и рассеяние энергии в виде тепла велико, то удар сильно неупругий. Вводят и понятие абсолютно неупругого удара, когда остаточная деформация настолько значительна, что после соударения шары вообще не разлетаются и движутся дальше вместе.

Следует отметить, что время, в течение которого происходит удар, зависит от степени упругости удара. Оно минимально для абсолютно упругого удара.

В любом случае выполняется закон сохранения импульса, т.е.

(1)

Абсолютно упругий удар.

Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар шаров. При центральном ударе векторы скоростей обоих шаров до и после удара направлены вдоль одной и той же линии - линии центров. Поэтому можно направить вдоль этой линии ось координат; если скорость какого-либо шара направлена вдоль этой оси, то она положительна, если против, то отрицательна. Тогда закон сохранения импульса (1) можно записать в проекции на эту ось, опустив знаки векторов, т.е.:

(2)

где скорости берутся со своими знаками.

Как уже говорилось, при абсолютно упругом ударе кинетическая энергия шаров переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а та, в свою очередь, полностью переходит в кинетическую энергию разлетающихся шаров: т.е. кинетическая энергия шаров до удара равна кинетической энергии шаров после удара:

(3)

Уравнения (2) и (3) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными и - скоростями шаров после удара.

Решение системы имеет вид:

, (4)

Коэффициенты восстановления.

Степень упругости удара можно определить с помощью так называемых коэффициентов восстановления скорости K и энергии K₁.

Для центрального удара коэффициент восстановления скорости K можно ввести как отношение величины относительной скорости шаров после удара к величине их относительной скорости до удара, т.е.

(5)

При абсолютно упругом ударе потенциальная энергия деформации целиком переходит снова в кинетическую энергию и шары разлетаются с максимально возможной относительной скоростью. Относительные скорости шаров до и после абсолютно упругого удара равны по величине и противоположны по направлению. Таким образом для абсолютно упругого удара K=1. Для реального частичного неупругого удара коэффициент K может принимать любые значения от нуля (абсолютно неупругий удар) до единицы, т.е. является мерой степени упругости удара.

Можно ввести также коэффициент восстановления энергии K₁, равный отношению суммарной кинетической энергии шаров после и до удара, т.е.

(6)

Максимальное значение коэффициента K₁, равное единице, достигается при абсолютно упругом ударе.