Пример: двухзвенный манипулятор

Применение уравнений Лагранжа-Эйлера в форме (6-35) – (6-42) для описания динамики движения манипулятора рассмотрим на примере двухзвенного манипулятора с вращательными сочленениями (рис. 6.3).

Все оси сочленений рассматриваемого манипулятора параллельны оси z, перпендикулярной плоскости рисунка. Физические характеристики, такие, как положение центра масс, масса каждого звена и выбранные системы координат, указаны ниже. Требуется получить уравнения движения рассматриваемого двухзвенного манипулятора, основываясь на равенствах (6-35) – (6-42).

Рисунок 6.3. Двухзвенный манипулятор

Примем:

-присоединенными переменными являются ;

-первое и второе звенья имеют массы и

-параметры звеньев имеют значения ; ; .

Тогда для матрицы имеем:

, ,

,

где

В соответствии с определением матрицы для вращательного сочленения имеем:

.

Используя выражение (6-19), получаем:

.

Аналогично для и получаем:

Полагая, что центробежные моменты инерции равны нулю, получим формулу для матрицы псевдоинерции :

; .

Для определения слагаемых, описывающих центробежное и кориолисово ускорение, воспользуемся равенством (6-40). Для i=1 оно дает:

.

С помощью (6-41) можно получить значения коэффициентов . Подставляя их в предыдущее выражение, имеем:

.

Аналогично для i=2:

.

Таким образом:

.

Слагаемые, определяющие влияние гравитационных сил :

Таким образом, вектор, определяющий влияние силы тяжести:

.

Окончательно имеем уравнения описывающие динамику движения двухзвенного манипулятора:

,

Лекция 11 Уравнения Ньютона-Эйлера

В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора. С вычислительной точки зрения применение этих уравнений представляет большие трудности при решении задачи в реальном времени. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана модель динамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. При быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кариолисовых сил, не удается компенсировать за счёт управления с обратной связью из-за слишком больших величин требуемых для этого корректирующих моментов.

Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.

Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.

Вращающиеся системы координат

Рисунок 11.1. Вращающаяся система координат

Рассмотрим две системы координат (рис. 11.1): - неподвижная инерционная система координат, - вращающаяся система координат. Начала этих координат совпадают и расположены в точке О, а оси , , вращаются относительно осей , , .

Пусть и - тройки единичных векторов, направленных вдоль основных осей систем и соответственно. Положение точки r, неподвижной относительно системы координат , можно описать следующими двумя способами:

, (11-1)

. (11-2)

Найдём скорость точки r. Поскольку обе системы координат взаимно вращаются, скорость точки r(t) будут различны в этих системах. Примем, что - скорость в неподвижной системе координат ; (11-3)

- скорость в подвижной вращающейся системе

координат . (11-4)

Тогда из выражения (11-1) получаем скорость точки r(t) в системе координат :

. (11-5)

Дифференцируя равенство (11-2), получаем скорость точки r(t) в системе координат :

.

(11-6)

С учетом равенств (11-2) и (11-6) получим следующее выражение для скорости точки r(t) в системе координат :

.

(11-7)

Здесь трудно вычислить производные , в связи с тем что векторы вращаются относительно векторов .

Чтобы найти соотношения между скоростями точки r в неподвижной и вращающейся системах координат, предположим, что система вращается вокруг некоторой оси OQ, проходящей через точку О с угловой скоростью (рис. 11.2).

Угловая скорость вращения системы представляет собой по определению вектор длины , направленный вдоль оси OQ в соответствии с правилом правой руки.

Рисунок 11.2. Скорость во вращающейся системе координат

Скорость точки, положение которой задаётся вектором s в системе координат равна:

. (11-8)

Поскольку производная вектора определяется равенством:

, (11-9)

справедливость выражения (7-8) можно доказать, убедившись, что:

. (11-10)

Поскольку равенство векторов обеспечивается совпадением их длин и направлений, векторы в левой и правой частях равенства (11-10) одинаковы по величине и их направления совпадают. Длина вектора равна:

. (11-11)

Если величина достаточно мала, то из рис. 11.2 очевидно, что:

. (11-12)

Следовательно, длина векторов в левой и правой частях равенства (11-10) равны. В соответствии с определением векторного произведения вектор перпендикулярен вектору s и лежит в плоскости окружности (рис. 11.2).

Применив формулу (11-8) к единичным векторам из равенства (11-7), получаем:

. (11-13)

Это основное соотношение, определяющие связь между скоростями одной и той же точки во вращающейся и неподвижной системах координат. Продифференцировав левую и правую части равенства (11-13), получим:

(11-14)

Равенство (11-14) представляет собой теорему Кориолиса. Первое слагаемое в правой части – ускорение точки в системе . Второе слагаемое описывает кориолисово ускорение. Третье слагаемое – центростремительное ускорение, направленное к оси вращения и перпендикулярное ей. Четвёртое слагаемое исчезает при постоянной угловой скорости.