- •9. Расчетные задания.
- •9.1. Линейная и векторная алгебра.
- •9.2. Аналитическая геометрия.
- •10. Тестовые задания для самостоятельной работы.
- •Задание 3. Найдите матрицу х из уравнений:
- •Задание 4. С помощью формул Крамера решить систему уравнений:
- •Задание 9. Найти координаты вектора векторного произведения векторов a и b.
- •2. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
9.2. Аналитическая геометрия.
Задание 1.
По координатам вершин треугольника АВС найти:1)длину стороны ВС;2)площадь треугольника АВС;3)уравнение ВС;4)уравнение высоты, проведенной из вершины А;5)длину высоты, проведенный из вершины А;6)расстояние от вершины А до стороны ВС;7)уравнение медианы, проведенной из вершины А до стороны ВС;8)уравнение биссектрисы внутреннего угла В; 9)угол В в радианах с точностью до 0,01.
1. А (4; 1), В (0;-2), С (-5; 10).
2. А (-7; 3), В (5;-2), С (8; 2).
3. А (5;-1), В (1;-4), С (-4; 8).
4. А (-14; 6), В (-2;1), С (1; 5).
5. А (6; 0), В (2;-3), С (-3; 9).
6. А (-9; 2), В (3;-3), С (6; 1).
7. А (7; -4), В (3:-7), С (-2;5).
8. А (-8; 4), В (4;-1), С (7; 3).
9. А (3; -3), В (-1;-6), С (-6; 6).
10. А (-6; 5), В (6;0), С (9; 4).
11. А (-6;-4), В (-10;-1), С (6; 1).
12. А (12; 0), В (18;8), С (0; 5).
13. А (-6;-2), В (-6;-3), С (10;-1).
14. А (8; 2), В (14;10), С (-4; 7).
15. А (2;-4), В (-2;-1), С (14; 1).
16. А (2;-1) В (8;7), С (-10; 4).
17. А (5;-3), В (1;10), С (17;2).
18. А (14;-6), В (20;2), С (2;-1).
19. А (3; 4), В (-1;7), С (15; 9).
20. А (1;-2), В (7;6), С (-11; 3).
21. А (-1; 1), В (7;5), С (4; 11).
22. А (-2; 1), В (6;7), С (3; 13).
23. А (2;-1), В (10;5), С (7; 11).
24. А (1; 1), В (9;7), С (6; 13).
25. А (-1; 2), В (7;8), С (4; 14).
Задание 2.
1. Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон Х+Y-1=0 и Y+1=0 , если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке (-1;0).
2. Найти координаты точки симметрично точке (2;-4) относительно прямой 4Х+ЗY+1=0.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-1:2) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y+1=0 и Х+2Y-3=0, лежит на прямой Х-Y- 6=0.
4. Даны уравнения двух сторон треугольника 4Х-5Y+9=0 и Х+4Y-3=0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке (3;1).
5. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2Х-Y+4=0 и 2Х-Y+10=0, и уравнение одной из его диагоналей Х+Y+2=0.
6. Даны две вершины треугольника А (-4; 5) и В (4; 1) и точка пересечения его высот Д (3; 5). Составить уравнения сторон треугольника.
7. Даны уравнения высот треугольника АВС: ЗХ+2Y+6=0 и Х-Y+5=0 и координаты одной из вершин А (-5; 3). Найти уравнения сторон треугольника.
8. Даны уравнения двух сторон треугольника: 5Х-2Y-8=0 и ЗХ-2Y-8=0. Составить уравнения третьей стороны треугольника, если известно, что ее середина совпадает с началом координат.
9.Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин А(2;-3), и уравнения двух высот 7Х-2Y-10=0 и 2Х-7Y+3=0.
10. Даны уравнения основания равнобедренного треугольника Х+Y-4=0 и боковой стороны Х-2Y+4=0. Точка А (-2; 3) лежит на второй боковой стороне. Найти уравнение второй боковой стороны.
11. Даны две противоположные вершины ромба А (3; 4) и С (1;-2) и уравнение одной из его сторон Х-Y+1=0. Найти уравнения остальных сторон ромба.
12. Даны середины сторон треугольника М (2; 1), N (5; 3), Р (3;-4). Составить уравнения сторон треугольника.
13. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин (1; 3) и уравнения двух медиан: Х-2Y +1=0 и Y-1=0.
14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 3) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y +5=0 и Х+2Y+1=0, лежит на прямой Х-Y-5=0.
15. Составить уравнение сторон треугольника, зная одну изего вершин А (0;2), и уравнения высот ВМ: Х+Y=4 и СМ: Y=2Х. М-точка пересечения его высот.
16. Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСД заданы уравнениями 2Х-Y+5=0 и X-2Y+4=0, диагонали его пересекаются в точке М (1; 4). Найти длины его высот.
17. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла С (3;-1) и уравнение гипотенузы 3Х-Y+2=0.
18. Две стороны параллелограмма заданы уравнением Y=Х-2 и 5Y=Х+6. Диагоналиего пересекаются в начале координат. Написать уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.
19. Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин А (0; 1), точку пересечения его диагоналей М (4; 4) и точку Р (2; 0) на стороне АВ.
20. Через точку пересечения прямых 2Х-5Y-1=0 и Х+4Y-7=0 провести
прямую, делящую отрезок между точками А (4;-3) и В (-1; 2) в отношении 2:3.
21. Определить, при каких значениях m и n прямая (2m-n+5)Х+7n+19=0 параллельна оси ОY, прямая и отсекает на оси ОХ отрезок, равный 5(считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
22. Определить, при каком значении а прямая (а+2)х+(а2-9)у+3а2-8а+5=0:
1)параллельна оси абсцисс;
2)параллельна оси ординат;
3)проходит через начало координат.
В каждом случае написать уравнение прямой.
23. Две стороны квадрата лежат на прямых 5Х-12Y-65=0 и 5Х-12Y+26=0. Вычислить его площадь.
24. Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В (-1; 4). Составить уравнения его сторон и вычислить его площадь.
25. Точка А (5;-1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4Х-3Y-7=0. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
Задание 3.
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.
1. а) 2х2-8х+у2-6у=0 б) х2 +10х-4у+33=0
2. а) х2 +4х-у2=0 б) у2 -6х+2у-11=0
3. а) х2-8х-у2=0 б) х2 -4х+5у+14=0
4. а) у2-6у-х2+2х=0 б) у2 +х-4у+2=0
5. а)6х2 -25у2 -18х-100у-316=0 б) х2 -8х-3у+19=0
6. а) 5х2 -6у2+10х-12у-31=0 б) у2 -5х+6у+4=0
7. а) х2 -4у2+6х+5=0 б) х2 +6у+6х-6=0
8. а) 3х2-у2 +12х-4у-4=0 б) у2 +6х-8у+22=0
9. а) х2 -4у2+2х-16у-7=0 б) х2 +8х-2у+14=0
10. а) х2 -4у2-4х+6у-5=0 б) у2 -3х+10у+16=0
11. а) 4х2-9у2 -8х+18у-23=0 б) 2х2 -4х-у+3=0
12. а) 9х2 -16у2-54х-64у-127=0 б) х-2у2 +4у-3=0
13. а) х2 +у2-2х+6у-5=0 б) х2 -2х-у+2=0
14. а) х2 +4у2+4х-8у-8=0 б) х-у2 +2у-2=0
15. а) х2 +2у2+8х-4=0 б) х2 -2х+у+7=0
16. а) 4х2 +9у2-40х+36у+100=0 б) х+у2 -2у+3=0
17. а) 9х2 -16у2-54х-64у-127=0 б) 2х2 +8х+у+7=0
18. а) 9х2 +4у2+18х-8у+49=0 б) х+2у2 -4у+4=0
19. а) 4х2 -у2+8х-2у+3=0 б) х2 +4х+у+3=0
20. а) 2х2 +3у2+8х-6у+11=0 б) х+2у2 +4у+1=0
21. а) 3х2 +3у2-6х+12у-5=0 б) х2 +10х-4у+33=0
22. а) 3у2 -х2+2х=2 б) у2 -6х+2у-11=0
23. а) у2 +4х2-2у=0 б) х2 -4х+5у-6=0
24. а) 2х2 +у2-6х=0 б) у2 +3х+4у=0
25. а) 2х2 -8х+у2+10у=3 б) х2 -8х-3у+19=0
Задание 4.
По координатам вершин пирамиды а1 а2 а3 а4 найти:
1) длины ребер а1 а2 и а1 а3 ;
2) угол между ребрами а1 а2 и а1 аз;
3) площадь грани а1 а2 а3 ;
4) объем пирамиды а1 а2 а3 а4 ;
5) уравнения прямых а1 а2 иа1 а3 ;
6) уравнения плоской а1 а2 а3 иа1 а2 а4 ;
7) угол между плоскостями а1 а2 а3 иа1 а2 а4 ;
8) угол между ребром а1 а3 и гранью а1 а2 а4 ;
9) уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3 ;
10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1 а2 а3 , и вершину а1 пирамиды ;
11) расстояние от вершины. а3до плоскости а1 а2 а4.
|
а1 |
а2 |
а3 |
а4 |
1. |
(3;1;4)
|
(-1;6;1) |
(-1;1;6)
|
(0;4;-1)
|
2.
|
(3;3;9)
|
(6;9;1) |
(1;7;3)
|
(8;5;8)
|
3. |
(3;5;4)
|
(5;8;3) |
(1;9;9)
|
(6;4;8)
|
4. |
(2;4;3)
|
(7;6;3) |
(4;9;3)
|
(3;6;7)
|
5.
|
(9;5;5)
|
(-3;7;1)
|
(5;7;8)
|
(6;9;2)
|
6.
|
(0;7;1)
|
(4;1;5)
|
(4;6;3)
|
(3;9;8)
|
7.
|
(5;5;4)
|
(3;8;4)
|
(3;5;10) |
(5;8;2)
|
8.
|
(6;1;1)
|
(4;6;6)
|
(4;2;0)
|
(1;2;6)
|
9.
|
(7;5;3)
|
(9;4;4)
|
(4;5;7)
|
(7;9;6)
|
10.
|
(6;6;2)
|
(5;4;7)
|
(2;4;7)
|
(7;3;0)
|
11.
|
(0;3;2)
|
(-1;3;6)
|
(-2;4;2) |
(0;5;4)
|
12.
|
(-1;2;0)
|
(-2;2;4)
|
(-3;3;0) |
(-1;4;2)
|
13.
|
(2;2;3) |
(1;2;7)
|
(0;3;3)
|
(2;4;5)
|
14.
|
(0;-1;2) |
(-1;-1;6)
|
(-2;0;2)
|
(0;1;4)
|
15.
|
(3;0;2)
|
(2;0;6)
|
(1;1;2)
|
(3;2;4)
|
16.
|
(0;2;-1)
|
(-1;2;3)
|
(-2;3;-1)
|
(0;4;1)
|
17.
|
(2;3;2)
|
(1;3;6)
|
(0;4;2)
|
(2;5;4)
|
18.
|
(-1;0;2)
|
(-2;0;6)
|
(-3;1;2)
|
(-1;2;4)
|
19.
|
(2;0;3)
|
(1;0;7)
|
(0;1;3)
|
(2;2;5)
|
20.
|
(2;-1;2)
|
(1;-1;6)
|
(0;0;2)
|
(2;1;4)
|
21.
|
(2;0;8)
|
(-10;3;0)
|
(-3;5;1)
|
(-1;-7;9)
|
22.
|
(1;4;0)
|
(-5;1;-2)
|
(-3;1;-3)
|
(2;-7;9) |
23.
|
(3;7;9)
|
(-3;0;7)
|
(2;-3;-5)
|
(1;-2;0)
|
24.
|
(-1;3;5}
|
(5;-1;-3)
|
(-2;9;-2)
|
(8;0;1)
|
25.
|
(5;1;-7)
|
(2;-3;-1)
|
(-7;-1;1)
|
(3;4;-5)
|
Задание 5.
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям и :
|
M
|
|
|
1. |
(2;1;-5)
|
3X-2Y+Z+7=0
|
5X-4Y+3Z+1=0
|
2. |
(1;-1;1)
|
X-Y+Z-1=0
|
2X+Y+Z+1=0
|
3.
|
(2;-1;1)
|
3X+2Y-Z+4=0
|
X+Y+Z-3=0
|
4.
|
(1;8;2)
|
5X+6Y+11Z-3=0
|
3X+Y+4Z-12=0
|
5.
|
(-1;-2;0)
|
4X+6Y-5Z-14=0 |
X+3Y-2Z-1 =0 |
6.
|
(5;1;2)
|
X-7Y-2Z-10=0
|
2X-2Y-Z-13=0
|
7.
|
(2;4;1)
|
X-2Y+5Z-7=0
|
2X-3Y+7Z-5=0
|
8.
|
(1;1;1)
|
X-2Y+2Z+8=0
|
3X+5Y+7Z-1=0
|
9.
|
(1;4;5)
|
X+Y+5Z+3=0
|
3X+2Y+8Z-9=0
|
10.
|
(3;0;7)
|
X+Y+4Z=0
|
3X+2Y+7Z-2=0
|
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 перпендикулярно плоскости :
|
М1 |
М2 |
|
11. |
(2;-1;4) |
(3;2;1) |
X+Y+Z-3=0 |
12. |
(1;1;1) |
(2;2;2) |
X-Y-Z=0 |
13. |
(0;-5;0) |
(0;0;2) |
X+5Y+2Z-10=0 |
14. |
(2;0;-1) |
(1;-1;3) |
3X+2Y-Z+3=0 |
15. |
(-1;-2;0) |
(1;1;2) |
X+2Y+2Z-4=0 |
16. |
(1;-2;4) |
(2;-3;5) |
X+Y-3Z+8=0 |
17. |
(0;1;3) |
(1;2;7) |
X+2Y+5Z+6=0 |
18. |
(1;1;0) |
(2;-1;-1) |
5X+2Y+3Z-7=0 |
19. |
(1;4;0) |
(2;14;3) |
X+6Y+Z-3=0 |
20. |
(9;1;1) |
(19;2;2) |
17X+2Y+Z+11=0 |
21. |
(7;1;0) |
(26;2;3) |
9X+Y+Z-17=0 |
22. |
(0;1;2) |
(-1;2;3) |
X+Y-Z+2=0 |
23. |
(3;4;6) |
(5;1;5) |
X+2Y+3Z-6=0 |
24. |
(4;1;0) |
(2;-1;1) |
X-Y+Z-3=0 |
25. |
(1;0;1) |
(-1;1;0) |
X+2Y-Z-1=0 |
Задание 6.
Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей и :
|
|
|
1)
|
x-2у+2z-8=0
|
x+2z-6=0
|
2)
|
3x-5y+z-8=0
|
2x+y-z+2=0
|
3)
|
x-2y+3z-4=0
|
3x+2y-5z-4=0
|
4)
|
x+z-6=0
|
x+6y-4=0
|
5)
|
x+2y-4=0
|
x-2y+2z-8=0
|
6)
|
x+2Z-6=0
|
x+y+z-6=0
|
7)
|
x+2y+3z-13=0
|
3x+y+4z-14=0
|
8)
|
x+2y+3z-1=0
|
2x-3y+2z-9=0
|
9)
|
2x+7y-z-8=0 |
Х+2y+z-4=0 |
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:
|
А |
ℓ |
10.
|
(3;1;-1) |
X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0 |
11.
|
(2;0;-3)
|
|
12.
|
(-4;3;0)
|
x-2y+z-4=0 2x+y-z=0 |
13.
|
(2;-5;9)
|
2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0 |
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ1 и ℓ2:
|
А |
ℓ1 |
ℓ2 |
14. |
(2;-3;4) |
||
15 |
(0;1;1)
|
||
16. |
(2;-3;4) |
x=t;y=t;z=2t+5 |
x=3t+8;y=2t-4;z=t+2 |
17. |
(0;1;-1) |
x=3t+1;y=15t;z=7t-2 |
x=t;y=2t-5;z=6 |
18. |
(0;-1;1) |
x=2t;y=t-5;z=3t-2 |
x=4t-1;y=4t+6;z=t-4 |
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а1 и а2 :
|
а1 |
а2 |
19. |
(1;-2;1) |
(3;1;1)
|
20. |
(1;-2;1) |
(0;6;5)
|
21. |
(3;1;2) |
(0;2;5) |
22. |
(0;1;2) |
(5;2;1) |
23. |
(1;7;3) |
(0;2;1) |
24. |
(1;0;2) |
(5;1;4) |
25. |
(3;5;1) |
(2;3;1) |
Задание 7
Найти проекцию точки А на плоскости :
|
А |
|
1. |
(1;3;1)
|
x+2y+2z-30=0 |
2. |
(3;1;-1)
|
3x+y+z-20=0 |
3. |
(5;2;-1)
|
2x-y+3z+23=0 |
4. |
(4;-3;1)
|
x-2y-z-15=0 |
5. |
(1;-1;0)
|
5x-6y+2z-76=0 |
Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:
|
А |
а |
6. |
(0;0;0;) |
х-2у+4z-21=0 |
7. |
(1;5;2) |
2х-у-z+11=0 |
8. |
(1;-3;-4) |
Зх-у-2z=0 |
9. |
(5;2;-1) |
2х-у+3z+23=0 |
10. |
(3;-4;-6) |
9х-7у-31z-108=0 |
Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:
|
А |
ℓ |
11. |
(2;1;0) |
|
12. |
(4;3;10) |
|
13. |
(1;-1;2) |
|
14. |
(3;2;0) |
|
15. |
(2;-1;5) |
|
16. |
(0;0;0;) |
Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости а с прямыми ℓ1 и ℓ2:
|
А |
ℓ1 |
ℓ2 |
17. |
2x+y-3z=0 |
||
18. |
3x-2y+z=0 |
||
19. |
6x+3y-41=0 |
||
20. |
3x-y-2z+5=0 |
||
21. |
2x+3y+z1=0 |
Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости и проходящей через точку пересечения плоскости с прямой ℓ, перпендикулярно вектору а:
|
|
ℓ |
_ а |
22. |
6x+3y-z-41=0 |
{1;2;1} |
|
23. |
x+2y=0 |
{3;-1;2} |
|
24. |
x+2y=0 |
{5;-1;2} |
|
25. |
3x-y-2z+5=0 |
{0;3;5} |
Задание 8
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ1 и ℓ2:
|
ℓ1 |
ℓ2 |
1. |
||
2. |
||
3. |
x=2t+1;y=-t;z=t+1 |
|
4. |
||
5. |
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ1, параллельно прямой ℓ2 :
|
ℓ1 |
ℓ2 |
6. |
||
7. |
||
8. |
||
9. |
||
10. |
x=3t-1;y=-2t-3;z=-t+2 |
x=2t+2;y=3t-1;z=-5t+1 |
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямым ℓ1 и ℓ2:
|
ℓ1 |
ℓ2 |
М |
11. |
(-2;0;0)
|
||
12. |
(6;1;1)
|
||
13. |
(1;2;1)
|
||
14. |
(1;2;3)
|
||
15. |
(0;0;2)
|
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ1 и ℓ2:
|
ℓ1 |
ℓ2 |
16. |
||
17. |
x=z-2;y=2z+1
|
|
18. |
x=t+5;y=-4t-1;z=t-4 |
|
19. |
x=t+1;y=-2;z=-t+1
|
x=2t;y=2t-2;z=-3t+2 |
20. |
x=3t+7;y=2t+2;z=-2t+1 |
|
21. |
||
22. |
x=2t-3;y=3t-2;z=-4t+6
|
x=t+5;y=-4t-1;z=t-4 |
23. |
||
24. |
x=2t+1;y=3t-2;z=-6t+1
|
|
25. |
Задание 9
Установить вид поверхности и построить её эскиз:
|
а) |
б) |
1. |
x2+ y2=z2 |
y=6 z2
|
2. |
x= 2z2 |
|
3. |
z= x2+ y2
|
|
4. |
||
5. |
x2+y2+z2-6x+8y+10z+25=0 |
z=1- x2- y2 |
6. |
z+(x2+ y2)=0 |
|
7. |
4x2-12y2-6z=12 |
|
8. |
2x2-5y2-8=0 |
4x2-8y2+16z2=0 |
9. |
3x2+5y2=12z
|
|
10. |
x2+ 4y2-8=0
|
|
11. |
z2-4x=0 |
2x2-y2-z2=0 |
12. |
8x-y2-2z2=0 |
y2=6x-4 |
13. |
4z= x2-y2 |
x2+y2= 2(z-1)2 |
14. |
8x2-4y2+24z2-48=0 |
x2+ y2=2z |
15. |
2y2+z2=1-x |
2x2+3z2=12y |
16. |
3x2-y2-z2=3
|
|
17. |
z2+4z-2x+6=0 |
3x2-y2-z2=3 |
18. |
2x2-4y2+8z2=0 |
|
19. |
x=9y2
|
x2-2y2+z2=1 |
20. |
z2+2z-4x+1=0
|
2x2+8y2-16=0 |
21. |
||
22. |
2x2+z2=1-y
|
y2=-6z |
23. |
x2-2z2+4y2=0 |
|
24. |
x2+2y2=4z |
|
25. |
4x2-y2-2z2=0
|