Лекция №10 Геометрические характеристики плоских сечений

Прочность и жесткость брусьев, как элементов конструкций, определяется тремя блоками факторов. Прежде всего, это внешнее воздействие, которое описывается внешними силами. Оно учитывается через внутренние силовые факторы в поперечных сечениях.

Второй важный факторный блок – это прочностные и жесткостные свойства самого материала. Прочностные и жесткостные характеристики материала устанавливаются только экспериментально и для многих известных конструкционных материалов эти характеристики можно найти в справочниках и ГОСТах.

И, наконец, третий важный блок факторов, существенно влияющий на прочность и жесткость брусьев – это их геометрия. Прежде всего, речь идет о геометрии поперечных сечений (под геометрией следует понимать размер и форму). В таких случаях говорят о геометрических характеристиках плоских (поперечных) сечений брусьев (стержней, стоек, валов, балок).

Простейшей геометрической характеристикой сечений является площадь . По большому счету только в случае центрального растяжения прямого бруса (стержня) важна именно площадь сечения (т. к. ), а форма не отражается на прочности и жесткости.

Во всех других случаях нагружения прямого бруса (центральном сжатии, кручении, изгибе и сдвиге) важной является именно форма сечения, а не размер площади.

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. Математически площадь представляется как сумма бесконечного множества элементарных площадок .

(1)

Площадь не зависит от выбора системы координат и является величиной аддитивной, то есть площадь целого равна сумме или разности площадей составных частей (типа). Можно указать сколько угодно много плоских фигур одной и той же площади . Для того чтобы улавливать форму плоских фигур необходимо ввести понятие моментов подобно тому, как это делается в механике, когда вводится момент силы.

Статические моменты сечений.

Выделим элементарную площадь в окрестности произвольной точки сечения в выбранной системе координат. Поскольку предполагаются поперечные сечения, то в плоскости сечений берем оси координат и , так как ось направлена перпендикулярно.

Величина есть не что иное, как момент элементарной площади относительно оси у. Если просуммировать эти элементарные моменты по всей площади

, (2)

то получаем так называемый статический момент площади А относительно оси у. То есть статическим моментом площади (сечения) относительно некоторой оси называется сумма произведений площадей бесконечно малых площадей на их расстояния до этой оси.

Аналогично можно ввести понятие статического момента площади (сечения) относительно оси z:

. (3)

Из определения статических моментов (2) – (3) следует, что размерность статических моментов есть длина в кубе, т.е. см³, м³ и т.д. Статические моменты, завися как от размера и формы фигуры, так и от системы координат.

Статические моменты сечений обладают следующими свойствами:

1) Аддитивность:

(4),

То есть статический момент относительно конкретной оси некоторого сечения равен сумме или разности статических моментов составных частей относительно той же оси. Это следует из свойства аддитивности определенного интеграла по области интегрирования.

2) Если вектор равный площади сечения как бы приложить в точке центра тяжести сечения , то статические моменты могут быть определены как

(5)

Формулы (5) имеют важное практическое применение. С их помощью может быть определено положение центра тяжести любого сечения

, . (6)

В качестве примера определим положение центра тяжести полукруга. Так как центр тяжести лежит на оси симметрии, то требуется определить только . Выберем систему координат, так как показано на рисунке. Требуется вычислить

.

Для этого удобнее перейти к полярной системе координат. Выражаем

. И тогда

По формуле (6) получаем

В силу симметрии у четвертины круга центр тяжести отстоит от бедер на таком же расстоянии .

Для сложных составных сечений на основе (4), и (5) можно получить алгоритм вычисления координат центра тяжести:

(7),

Многоточие означает, что сечение можно подразделить на любое число составных частей.

Пример 1 (определение положения точки центра тяжести)

в = 10 мм; h = 40 мм;

В = 20 мм; H = 60 мм.

По формулам (7) получаем:

Пример 2 (В =12см; Н=20см; а=4см.)

В данном случае воспользуемся алгоритмом (7’):

Таким образом, понятие статического момента является удобным средством для определения центра тяжести любых сечений. Кроме того, статический момент выполняет роль геометрической характеристики сечения при сдвиге.