Уравнения нормали к поверхности
О
пределение.
Прямая
,
проходящая через точку
поверхности
перпендикулярно касательной плоскости
,
называется нормалью
к поверхности
в точке
(рис. 17).
Направляющий
вектор нормали
совпадает с нормальным вектором
касательной плоскости:
.
Поэтому канонические уравнения нормали к поверхности имеют вид:
В последнем примере канонические уравнения нормали имеют вид:
.
12. Частные производные высших порядков
Пусть
функция
имеет в области
частные производные
.
Функции
в свою очередь могут иметь частные
производные в области
или более узкой области. Эти частные
производные называются частными
производными второго порядка
исходной функции 
.
У функции двух переменных могут быть четыре разных частных производных второго порядка:
1)
,
или в других обозначениях
;
2)
,
или в других обозначениях
;
3)
,
или в других обозначениях
;
4)
,
или в других обозначениях
.
Исходные
частные производные
называются при этом частными
производными первого порядка.
Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков от функций двух и более переменных.
Пример.
У функции
среди частных производных третьего
порядка имеются в том числе следующие:
;
;
.
и т. д.
Те из частных производных второго и более высоких порядков, у которых дифференцирование ведется по различным переменным, называются смешанными. Так, в последнем примере первые две из частных производных третьего порядка являются смешанными.
Пример.
Рассмотрим функцию
.
Здесь
;
.
Далее,
;
;
;
.
Совпадение
смешанных частных производных
и
в последнем примере является неслучайным;
именно справедлива следующая
Теорема. Пусть выполнены два условия:
1.
В окрестности точки
существуют частные производные
и
.
2.
В самой точке
смешанные частные производные
и
непрерывны.
Тогда имеет место равенство смешанных частных производных:
.
(Без доказательства).
13. Экстремумы
Пусть
функция
задана в области
,
содержащей точку
.
Определение.
1. Точка
называется точкой
максимума
функции
,
если для всех точек
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
(другими словами, точка
является для
этой окрестности
точкой наибольшего значения).
2.
Аналогично точка
называется точкой
минимума
функции
,
если для всех точек
из некоторой окрестности выполняется
неравенство
.
Точки максимума и минимума называют точками экстремума.
Замечание.
Понятие точки экстремума является
локальной
характеристикой
функции, говорящей о ее поведении в
малой окрестности
точки
.
В точках, далеких от
,
значения функции могут быть больше, чем
в точке максимума или меньше, чем в точке
минимума (рис. 18).
Необходимое условие экстремума
Теорема.
Если функция
имеет в точке
экстремум, то каждая из частных производных
,
если она существует в этой точке, равна
нулю.
Таким
образом, необходимое условие экстремума
в точке
в случае существования частных производных
имеет вид:
;
.
Доказательство.
Пусть например,
— точка максимума, и в этой точке
существует частная производная
.
Зафиксируем
и рассмотрим функцию одной переменной
.
Тогда
.
Из определения точки экстремума следует,
что
является для функции
точкой максимума, и необходимое условие
экстремума для функции одной переменной
дает:
,
то есть
.