Уравнения нормали к поверхности

О пределение. Прямая , проходящая через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости , называется нормалью к поверхности в точке (рис. 17).

Направляющий вектор нормали совпадает с нормальным вектором касательной плоскости:

.

Поэтому канонические уравнения нормали к поверхности имеют вид:

В последнем примере канонические уравнения нормали имеют вид:

.

12. Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет в области частные производные . Функции в свою очередь могут иметь частные производные в области или более узкой области. Эти частные производные называются частными производными второго порядка исходной функции .

У функции двух переменных могут быть четыре разных частных производных второго порядка:

1) , или в других обозначениях ;

2) , или в других обозначениях ;

3) , или в других обозначениях ;

4) , или в других обозначениях .

Исходные частные производные называются при этом частными производными первого порядка.

Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков от функций двух и более переменных.

Пример. У функции среди частных производных третьего порядка имеются в том числе следующие:

; ; .

и т. д.

Те из частных производных второго и более высоких порядков, у которых дифференцирование ведется по различным переменным, называются смешанными. Так, в последнем примере первые две из частных производных третьего порядка являются смешанными.

Пример. Рассмотрим функцию . Здесь

; .

Далее,

; ; ;

.

Совпадение смешанных частных производных и в последнем примере является неслучайным; именно справедлива следующая

Теорема. Пусть выполнены два условия:

1. В окрестности точки существуют частные производные и .

2. В самой точке смешанные частные производные и непрерывны.

Тогда имеет место равенство смешанных частных производных:

.

(Без доказательства).

13. Экстремумы

Пусть функция задана в области , содержащей точку .

Определение. 1. Точка называется точкой максимума функции , если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство (другими словами, точка является для этой окрестности точкой наибольшего значения).

2. Аналогично точка называется точкой минимума функции , если для всех точек из некоторой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называют точками экстремума.

Замечание. Понятие точки экстремума является локальной характеристикой функции, говорящей о ее поведении в малой окрестности точки . В точках, далеких от , значения функции могут быть больше, чем в точке максимума или меньше, чем в точке минимума (рис. 18).

Необходимое условие экстремума

Теорема. Если функция имеет в точке экстремум, то каждая из частных производных , если она существует в этой точке, равна нулю.

Таким образом, необходимое условие экстремума в точке в случае существования частных производных имеет вид:

; .

Доказательство. Пусть например, — точка максимума, и в этой точке существует частная производная . Зафиксируем и рассмотрим функцию одной переменной . Тогда . Из определения точки экстремума следует, что является для функции точкой максимума, и необходимое условие экстремума для функции одной переменной дает: , то есть .