9. Дифференцирование неявной функции

Пусть в области задана функция двух переменных .

Определение. Функция в окрестности точки , задана неявно уравнением

, (20)

если при всех из этой окрестности справедливо равенство .

Заметим, что обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного задания: ; здесь .

Теорема. Пусть для неявной функции , задаваемой уравнением , имеем , так что

, (21)

и выполняются три условия:

1. Неявная функция непрерывна в точке .

2. Функция и ее частные производные непрерывны в точке .

3. .

Тогда неявная функция дифференцируема в точке , и

.

Доказательство. Придадим переменной в точке приращение ; оно, в свою очередь, вызовет приращение неявной функции, и, как следствие, полное приращение функции :

.

Пара чисел , будучи аргументом и значением неявной функции, также удовлетворяет уравнению (20), то есть

. (22)

При этом в силу непрерывности функции имеем: =0.

Теперь, с одной стороны, из (21) и (22) следует

,

а с другой стороны, ввиду непрерывности частных производных, для имеет место представление (4):

с бесконечно малыми при . Таким образом,

.

Выразим отсюда :

(знаменатель в правой части отличен от нуля в малой окрестности точки ввиду условий и ). Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:

.

Пример. Пусть неявная функция задана уравнением

;

здесь . Точка удовлетворяет уравнению, так что для неявной функции имеем: . Далее,

; .

Поэтому

.

и .

10. Уравнения касательной к пространственной линии

Напомним, что прямая в пространстве, проходящая через точку , параллельно направляющему вектору задается каноническими уравнениями:

(

рис. 11)

Рис. 11

Линия в пространстве может быть задана параметрическими уравнениями (рис. 12):

; ; ; .

Р

ис. 12

Будем предполагать функции дифференцируемыми (а значит, и непрерывными), а точку , где

,

неособенной; последнее означает, что производные координатных функций в этой точке не обращаются одновременно в нуль:

.

Пусть , и точка соответствует значению параметра , так что

(рис. 13).

Рис. 13

Как и в случае плоской кривой, имеет место следующее Определение. Касательной к линии в точке называется предельное положение секущей при .

Это предельное положение определяется предельными значениями переменных величин, входящих в уравнения секущей . Последняя задается каноническими уравнениями:

.

Разделим знаменатели всех членов равенства на :

. (23)

Поскольку

, , ,

то, переходя в (23) к пределу при , получаем уравнения касательной :

,

или

.

Пример. Найдем канонические уравнения касательной к линии, заданной параметрическими уравнениями:

; ;

в точке , соответствующей значению параметра .

Находим производные:

; ; .

Полагая здесь , получаем канонические уравнения касательной в точке :

.

11. Уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности

Напомним, что плоскость , проходящая через точку и перпендикулярная нормальному вектору (рис. 14), задается уравнением:

.

Напомним далее, что условие параллельности плоскости и пространственной прямой , заданной каноническими уравнениями

,

имеет вид:

.

Определение. Прямая называется касательной прямой к поверхности в точке , если она является касательной в точке к какой-либо кривой , лежащей на поверхности (рис. 15).

Заметим что через точку можно провести разные кривые и получить, соответственно, разные касательные прямые к поверхности (рис. 16).

Пусть поверхность задана уравнением .

Определение. Точка называется неособенной точкой поверхности , если выполняются три условия:

1. В окрестности точки существуют частные производные , , .

2. В точке частные производные непрерывны.

3. В точке частные производные не обращаются одновременно в нуль.

Теорема. Все касательные прямые к поверхности в неособенной точке лежат в одной плоскости.

Доказательство. Пусть — плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор

(вектор является ненулевым поскольку точка по условию неособенная). Покажем, что в плоскости лежит любая касательная прямая . Пусть эта прямая является касательной к линии , имеющей параметрические уравнения

,

и

.

Канонические уравнения касательной к линии имеют вид:

.

Направляющий вектор касательной имеет координаты:

.

Достаточно показать, что векторы и перпендикулярны; необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю скалярного произведения: . Имеем:

;

правая часть здесь является полной производной сложной ; при этом функция при всех тождественно равна нулю, поскольку точка лежит на поверхности, и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению ). Итак,

. ▄

Определение. Плоскость , в которой лежат все касательные прямые к поверхности в неособенной точке , называется касательной плоскостью к поверхности.

Пример. Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в точке . Здесь . Вычислим частные производные функции :

.

Уравнение касательной плоскости:

.