7. Частные производные сложной функции

Пусть в области задана функция двух переменных:

, (6)

у которой переменные и в свою очередь являются функциями переменных и :

, (7)

заданными в области .

Тогда является сложной функцией независимых переменных и с промежуточными переменными и :

. (8)

Рассмотрим задачу нахождения частных производных этой сложной функции без использования явной записи (8).

Пусть точка , и функции и , согласно уравнениям (7), переводят ее в точку :

.

Теорема. Пусть выполняются три условия:

1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке .

2. В точке существуют частные производные .

3. Функции непрерывны в точке .

Тогда в точке существуют частные производные сложной функции , и для них справедливы формулы:

(9)

,

или в другой записи:

.

Доказательство. Проведем его для частной производной . Придадим переменной в точке приращение ; оно вызовет частные приращения промежуточных переменных , которые в свою очередь вызовут частное приращение сложной функции . В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращению применима формула (4):

,

откуда, деля на , получаем:

. (10)

Здесь — постоянные величины для фиксированной точки . Далее, в силу непрерывности функций (условие 3):

, ,

а тогда и величины в представлении (10) также стремятся к нулю.

Переходя в равенстве (10) к пределу при , получаем на основании свойств предела и условия 2:

,

и далее,

.

Замечание. Аналогичные формулы имеют место для функций большего числа переменных. Например, в ситуации:

,

и

, , , ,

имеем:

Пример. Пусть

;

.

Тогда

;

далее,

Поэтому

;

.

8. Полная производная сложной функции

Пусть в области задана функция двух переменных:

, (11)

у которой переменные и являются функциями одной переменной :

. (12)

Тогда является сложной функцией одной независимой переменной с промежуточными переменными и :

(13)

(рис. 10).

Р

ис. 10

Рассмотрим задачу нахождения производной этой сложной функции на основании уравнений (11 и (12) без использования явной записи (13).

Теорема. Пусть , и функция удовлетворяет двум условиям:

1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке .

2. Функции дифференцируемы в точке .

Тогда сложная функция дифференцируема в точке , и для ее производной справедлива формула:

. (14)

Доказательство. Придадим независимой переменной в точке приращение ; оно вызовет приращения промежуточных переменных , которые в свою очередь вызовут приращение сложной функции . В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращению применима формула (4):

,

откуда, деля на , получаем:

. (15)

Здесь — постоянные величины для фиксированной точки . Далее, функции , будучи дифференцируемыми в точке , являются также и непрерывными в этой точке, так что

, ,

а тогда и величины в представлении (15) также стремятся к нулю.

Переходя в равенстве (15) к пределу при , получаем:

,

и далее, на основании свойств предела:

.

Пример. Пусть , где . Тогда

.

Далее,

.

Поэтому

Рассмотрим теперь случай, когда у функции двух переменных одна из переменных, например , является функцией другой: . Тогда оказывается сложной функцией от с двумя промежуточными переменными и .

Этот случай сводится к последней теореме, если считать, что обе промежуточные переменные являются функциями одной независимой переменной , которая в этом последнем случае играет роль переменной :

, (16)

, (17)

так что

, (18)

причем функция в общей схеме (12) является «тождественной»: .

Формула (14) при этом преобразуется к виду:

. (19)

Отметим, что полная производная в левой части (19) определяется функцией (18), а частная производная в первом слагаемом правой части ― функцией (16).

Пример. Пусть , причем . Тогда

, , .

Поэтому

.