1.2.1 Множення чисел у форматі з фіксованою комою

Ця операція складає основу усіх методів множення любих чисел, поданих у інших форматах. При виконанні множення велике значення мають код подання чисел і, у деяких випадках, основа системи числення. Багато методів за алгоритмом виконання множення для різних систем числення інваріантні. Місце коми при множенні чисел з фіксованою комою не грає ролі і у результаті завжди наперед відомо. Будемо вважати, що співмножники представляють правильні дроби.

У разі множення дійсних чисел з фіксованою комою множене

A =

і множник B =

створюють добуток згідно з таким виразом

де 0, 1, . , d-1 – цифрові розряди;

= 0, 1, - знакові розряди.

З урахуванням особливостей подання чисел у різних форматах кодування добуток у загальному випадку має вигляд

Z = A * B = ( a + a₀)(b + b₀) = ab +a₀b +ab₀ + a₀b₀ .

Залежно від коду подання чисел, результат має різні значення, які для створення правильного добутку необхідно коректувати або попередньо перетворювати співмножникі.

Множення чисел у доповнювальних кодах відрізняється від множення чисел без знаку тим, що власне знаковий розряд приймає участь в операції множення, а самі числа у процесі множення сприймаються як числа у прямих кодах.

Якщо n – розрядний множник В  0, то у доповнювальному коді він буде таким:

0 b₁ b₂ b₃ . . . b_n-1, де b₁ b₂ b₃ b_n-1 = | B |

Множення, починаючи з молодших розрядів, будь якого m – розрядного числа А на такий множник буде забезпечувати правильний результат.

Необхідно врахувати, що під час зсуву вправо від’ємного проміжного добутку у крайній зліва розряд числа (перший справа від коми) записується одиниця.

Розглянемо приклади множення додатного та від'ємного множенного (+А та –А) на додатний множник (+В) у доповнювальних кодах.

Приклад 1 А = + 9/16₁₀; A_доп = А_пр = 0,1001₂

і В = + 5/16₁₀; В_доп = В_пр = 0,0101₂

0,1 0 0 1 * 0,0 1 0 1
0,1 0 0 1	копія множеного (b-4 = 1);
0,0 1 0 0 1	зсув проміжного добутку (ДП);
0,0 0 1 0 0 1	зсув ДП (b-3 = 0);
+ 0,1 0 0 1	додавання копії множеного до двічі зсунутого ДП (b-2 = 1);
0,1 0 1 1 0 1	результат додавання;
0,0 1 0 1 1 0 1	зсув ДП;
0,0 0 1 0 1 1 0 1  знак добутку	зсув ДП (b-1 = 0), отриманий результат у доповнювальному коді;

Результат: (А * В)_пр = (А * В)_доп = 0,00101101₂ = + 45/256₁₀.

Приклад 2 А = - 9/16₁₀; А_пр = 0,1001₂; A_доп = + 0,0001 = 1,0111₂;

В = +5/16₁₀; В_доп = В_пр = 0,0101₂.

1,0 1 1 1 * 0,0 1 0 1
1,0 1 1 1	копія множеного (b-4 = 1);
1,1 0 1 1 1	зсув проміжного добутку (ДП), справа від коми дописана 1;
1,1 1 0 1 1 1	зсув ДП (b-3 = 0), справа від коми дописана 1;
+ 1,0 1 1 1	додавання копії множеного до двічі зсунутого ДП (b-2 = 1);
1,0 1 0 0 1 1	результат додавання;
1,1 0 1 0 0 1 1	зсув ДП, зліва від коми дописана 1;
1,1 1 0 1 0 0 1 1  знак добутку	зсув ДП (b-1 = 0), справа від коми дописана 1. Отриманий результат у доповнювальному коді.

Результат: (А * В)_пр = ()_доп + 1 = 1, + 0,00000001 = 1,00101101₂ = - 45/256₁₀.

Якщо множник В < 0, то у доповняльному коді він буде таким: 1,

де .

У цьому випадку – множення будь-якого числа А на від'ємний множник – результат буде більшим від правильного на величину А. Для отримання правильного значення добутку необхідно провести коригування, яке можна виконати на останьому кроці множення – при множенні на знаковий розряд множника, віднімаючи від проміжного добутку множене А.

Наступні приклади проілюструють процедуру множення додатного або від'ємного множеного на від'ємний множник.

Приклад 3 А = + 9/16₁₀; A_доп = А_пр = 0,1001₂; (- A)_доп = + 0,0001 = 1,0111₂;

В = - 5/16₁₀; В_пр = 0,0101₂ В_доп = + 0,0001 = 1,1011₂

0,1 0 0 1 * 1,1 0 1 1
0,1 0 0 1	копія множеного (b-4 = 1);
0,0 1 0 0 1	зсув проміжного добутку (ДП);
+ 0,1 0 0 1	додавання другої копії множеного (b-3 = 1);
0,1 1 0 0 0 1 1	результат додавання;
0,0 1 1 0 1 1	зсув ДП;
0,0 0 1 1 0 1 1	зсув ДП (b-2 = 0);
+ 0,1 0 0 1	додавання третьої копії множеного (b-1 = 1);
0,1 1 0 0 0 1 1	результат додавання;
0,0 1 1 0 0 0 1 1	зсув ДП
+ 0,0 1 1 1	корекція результату шляхом віднімання (додавання у доповняльному коді від’ємного значення) множеного (- А)доп;
1,1 1 0 1 0 0 1 1  знак добутку	Отриманий результат у доповнювальному коді;

Результат: (А * В)_пр = ()_доп + 1 = 1, + 0,00000001 = 1,00101101₂ = - 45/256₁₀.

Приклад 4 А = - 9/16₁₀; А_пр = 0,1001₂; A_доп = + 0,0001 = 1,0111₂;

В = - 5/16₁₀; В_пр = 0,0101₂ В_доп = + 0,0001 = 1,1011₂

1,0 1 1 1 * 1,1 0 1 1
1,0 1 1 1	копія множеного (b-4 = 1);
1,1 0 1 1 1	зсув проміжного добутку (ДП), справа від коми дописана 1;
+ 1,0 1 1 1	додавання другої копії множеного (b-3 = 1);
1,0 0 1 0 1	результат додавання;
1,1 0 0 1 0 1	зсув (ДП), справа від коми дописана 1;
1,1 1 1 0 0 1 0 1	зсув ДП (b-2 = 0);
+ 1,0 1 1 1	додавання третьої копії множеного (b-1 = 1);
1,0 0 1 1 1 0 1	результат додавання;
1,1 0 0 1 1 1 0 1	зсув (ДП), справа від коми дописана 1;
+ 0,1 0 0 1	корекція результату шляхом віднімання (додавання у доповнювальному коді від’ємного значення) множеного (фактично – у прямому коді через друге доповнення) (-(- А))доп;
1 0,0 0 1 0 1 1 0 1   знак добутку	одиниця переповнення, що виникла при додаванні знакових розрядів, відкидається. Отриманий результат у доповнювальному коді;

Результат: (А * В)_пр = (А * В)_доп = 0,00101101₂ = + 45/256₁₀