1.2. Правила додавання (віднімання) двійкових чисел з рухомою комою

Додавання і віднімання чисел з рухомою комою виконується у декілька етапів.

1. Вирівнювання порядків;

Як відомо, реальна величина (вага) N_i одиниці і-го розряду мантиси визначається не тільки позицією даного розряду, але й порядком р числа, тобто N_i = d ^p-і, де і – номер позиції, рахуючи вправо від коми.

При додаванні (відніманні) необхідно, щоб ваги однойменних розрядів мантис чисел були однаковими. Для цього мантиси зсувають одна щодо одної так, щоб їх порядки вирівнялися. Щоб при вирівнюванні порядків не отримати мантиси більшої за одиницю, їх потрібно вирівнювати від меншого до більшого порядку. Мантиса з меншим порядком зсувається вправо (у бік молодших розрядів) на кількість розрядів, що дорівнює різниці порядків і одночасно коректується порядок (збільшується до значення спільного порядку).

2. Додавання мантис;

Додавання мантис із вирівненими порядками виконується згідно правил додавання чисел з фіксованою комою. Зазвичай використовується модифікований доповнювальний код. (Пригадайте правила подання від’ємних чисел з використанням доповнювального або оберненого модифікованого коду).

3. Переведення результату додавання мантис у прямий код.

У результаті додавання мантис може виникнути один з трьох випадків:

а). Виникає переповнення розрядної сітки комп’ютера (порушення нормалізації вправо). Ознакою переповнення є невизначенність знакових розрядів, коли результат неможливо віднести ні до додатних, ні до від’ємних чисел (код 01 або 10). У цьому випадку необхідно виконати корекцію результату додавання мантис шляхом його зсуву вправо на один розряд і одночасного збільшення порядку на 1.

Наприклад, після додавання мантис отримуємо число 01,00001. Нормалізуємо його зсувом вправо на один розряд і одночасно збільшуємо порядок на 1. В результаті отримуємо:

(А + В)_доп = 00,100001 * 10^к+1

Переводимо у прямий код: (А + В)_пр = 00,100001 * 10^к+1.

Внаслідок корекції результату шляхом зсуву вліво точність його погіршилася.

б). Результат від’ємний. Переведення результату додавання мантис у прямий код віконується шляхом виконання другого доповнення (тобто, виконується інверсія результату і до отриманого коду додається 1 у молодший розряд) або другого обертання (тобто, виконується інверсія результату);

в). Результат додатний. У прямому коді додатний результат залишається без змін;

4. Нормалізація результату.

Виконується тоді, коли після переведення у прямий код у отриманому результаті відбувається порушення нормалізації вправо, тобто з правого боку від коми є один або декілька нулів. Це порушення коректується зсувом мантиси результату вліво і одночасне зменшення порядку на кількість розрядів зсуву мантиси до повної нормалізації мантиси.

4. Остаточний результат додавання двох чисел з рухомою комою: сума мантис – це мантиса результату, порядок результату – вирівняний порядок доданків, із врахуванням всіх проведених корекцій. .

Розглянемо приклади виконання операції додавання двійкових чисел з рухомою комою. Всі арифметичні дії будемо виконувати у модифікованому доповнювальному коді.

Приклад 1: Додати A = - 0,1101 * 10¹⁰¹ i B = + 0,1100 * 10⁰¹¹.

а) Вирівнюємо порядки.. Спочатку, визначаємо арифметичну різницю між порядками, віднімаючи від значення порядку числа А значення порядку числа В. При цьому операцію віднімання замінюємо операцією додавання у доповнювальному модифікованому коді.

р_А – р_В = р_А + (– р_{В) =} (p_{A доп(м)} = 00,101) + (p_{B доп(м)} = 11,101) = 00,010 – різниця порядків

Аналіз отриманої різниці:

• знак різниці показує, що порядок числа А більше порядку числа В;

• порядки відрізняються на дві одиниці.

Через те, що р_А > p_B, зсуваємо мантису числа В вправо на два розряди, тобто

М_{В пр}= 00,001100 і В_пр= 00,001100 * 10¹⁰¹.

Розряди мантиси числа В, які вийшли за межі розрядної сітки процесора, будуть втрачені, що погіршить точність обчислень.

б) Переводимо мантиси обох чисел у модифікований доповнювальний код (в межах 4-х розрядів):

М_{А пр} = 11,1101  М_{А доп(М)} =.11,0011

М_{В пр} = 00,0011  М_{В доп(М)} =.00,0011

в) Додаємо модифіковані доповнювальні коди мантис чисел А та В і отримуємо результат у модифікованому доповнювальному коді:

(А + В)_{доп (М)} = 11,0011 + 00,0011 = 11,0110

г) Аналіз результату додавання мантис починається із знакових розрядів. Знакові розряди показують, що переповнення розрядної сітки у нас не виникло. Результат – від'ємний, тому переводимо мантису результату у прямий код шляхом виконання другого доповнення і дописуємо спільний порядок:

(А + В)_{пр (М)} = (11,1001 + 00,0001) * 10 ¹⁰¹ = 11,1010 * 10¹⁰¹ - остаточний результат.

При переведенні у прямий код знак результату не міняється.

Подальший аналіз показує, що порушення нормалізації результату вправо немає.

Приклад 2. : Додати двійкові числа: А = + 0,10100 * 10¹⁰¹ та В = - 0,10110 * 10¹⁰⁰ .

а) Для вирівнювання порядків доданків необхідно із порядку числа А відняти порядок числа В. Віднімання замінимо додаванням у модифікованому доповняльному коді.

(р_{А доп(м)}= 00,101) + (р_{В доп(м)} = 11,100) = ,101 – 00,100 = 00,101 + (- 00,100) =

= 00,101 + (11,011 + 00,001) = 00,101 + 1,100 = 00,001

Через те, що р_А > p_B на +1, виконуємо зсув мантиси числа В вправо на 1 розряд.

М_{В пр} = 11,010110 і В = 11,010110 * 10¹⁰¹.

б) Переведемо мантиси доданків у модифікований доповняльний код.

М_{А пр} = 00,10100  М_{А доп(М)} = 00,10100.

М_{В пр} = 11,010110  М_{В доп(М)} = 11,101010.

в) Додаємо мантиси чисел А і В у модифікованих доповняльних кодах:

(М_{А доп(М)} = 00,10100) + (М_{В доп(М)} = 11,10101) = 00,01001

г) Переводимо результат у прямий код (виконуємо друге доповнення). У нашому випадку прямий код суми мантис збігається з доповнювальним кодом суми мантис, тому що результат є число додатне.

(М_А + М_В) _пр(м) = 00,01001

Як видно, виникло порушення нормалізації вправо, тому що вправо від коми розряд дорівнює 0.

д) Виконуємо нормалізацію результату, тобто зсув мантиси ліворуч на 1 розряд з одночасним відповідним зменшенням порядку:

(А + В)_пр = 0,1001 * 10¹⁰⁰ – остаточний результат.