2.1.3 Случайные составляющие погрешностей измерения

Поскольку величину случайной погрешности нельзя предвидеть заранее, для ее уменьшения проводят многократные измерения величины в одинаковых условиях. При этом принимают, что систематическая составляющая скомпенсирована, т.е. ее значение близко к нулю. В этом случае можно считать, что наиболее достоверным значением, которое может принимать измеряемая величина, является среднее арифметическое из полученных значений, определяемое как

Аср = (а₁ + а₂ + … + а_n)/n, (2.1)

где а₁ , а₂ , … а_n – результаты отдельных измерений, n – число измерений.

Для оценки точности результатов измерений необходимо знать закон распределения вероятностей случайных погрешностей. Закон распределения вероятности случайной составляющей погрешности определяется как устройством (схемой, конструкцией) измерительного прибора, так и условиями его эксплуатации, т. е. условиями измерений.

Реально каждой серии измерений, производимой с определенной группой измерительных приборов, соответствует свой закон распределения погрешностей. Установление и анализ этого закона существенно усложнили бы процедуру расчета погрешностей измерений. Поэтому на практике обычно пользуются аппроксимацией реального закона распределения, сводя его к наиболее простому виду.

В практике электрических измерений одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон (закон Гаусса), математическое выражение которого имеет вид

p(δ) = , (2.2)

где p(δ) – плотность вероятности случайной погрешности δ;

σ – среднеквадратическое отклонение.

При δ = 0 формула для определения плотности вероятности случайной погрешности принимает вид

p(δ) = .

Среднеквадратическое отклонение σ может быть определено через случайные отклонения отдельных результатов измерений по формуле

где ρ₁ = a₁ – Aср; ρ₂ = a₂ – Aср; ρ_n = a_n – Aср.

Графическое изображение нормального закона распределения показано на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Здесь изображены кривые, описываемые уравнением (2.2) для двух значений δ. Из этих кривых видно, что чем меньше δ, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т. е. тем точнее выполнены измерения. Кривые симметричны относительно оси ординат, так как положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто.

Вероятность появления погрешности со значениями от δ₁ до δ₂ определяется площадью заштрихованного участка на рис. 2.2. При нормальном законе распределения вероятность появления случайных погрешностей в интервале от δ₁ до δ₂ вычисляется как определенный интеграл от функции р(δ):

P = .

Значения этого интеграла вычислены для различных пределов (интервалов ±Δδ) и сведены в таблицы, приведенные в математических справочниках. Интеграл, вычисленный для пределов от δ₁= - ∞ до δ₂= + ∞ равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от -∞ до +∞ равна единице. Это естественно, так как все погрешности имеют конечные значения.

Как указывалось ранее, среднее арифметическое ряда измерений A_ср является лишь наиболее достоверным значением измеряемой величины. Точность результата измерения A_ср можно оценить с помощью средней квадратической и вероятной погрешностей. Если случайные погрешности распределены по нормальному закону, то согласно теории погрешностей средняя квадратическая погрешность среднего арифметического значения равна:

σ_A = = .

Из данного выражения видно, что увеличение количества повторных измерений приводит к уменьшению средней квадратической погрешности результата измерений.

Если известен закон распределения случайных погрешностей, можно определить вероятность появления погрешности δ, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью.

При нормальном законе распределения по таблице интегралов вероятностей можно определить значения доверительных интервалов. При увеличении доверительных интервалов значения доверительных вероятностей возрастают, стремясь к пределу, равному единице. На­пример, для доверительного интервала от δ₁ = -σ до δ₂ = +σ доверительная вероятность Р равна 0,68. Следовательно, вероятность того, что случайная погрешность не превышает среднего квадратического значения, равна 0,68. Так как вероятность появления случайной погрешности для доверительного интервала от δ₁ = - ∞ до δ₂= + ∞ равна единице, то вероятность появления погрешности по абсолютному значению, превышающей σ, равна 1 - 0,68 = 0,32, т. е. примерно только одно из трех измерений будет иметь погрешность, большую σ.

Для доверительного интервала от - 3σ до + 3σ доверительная вероятность равна 0,9973. Вероятность появления погрешности, большей 3σ, равна 1 - 0,9973 = 0,0027 ≈ 1/370. Такая доверительная вероятность означает, что из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3σ. Поэтому значение 3σ считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности, большие 3σ, считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

Как указывалось, для оценки точности результата измерения можно воспользоваться вероятной погрешностью.

Вероятной погрешностью называется такая погрешность, относительно которой при повторных измерениях какой-либо величины одна половина случайных погрешностей по абсолютному значению меньше вероятной погрешности, а другая – больше ее. Из данного определения следует, что вероятная погрешность равна дове­рительному интервалу, при котором доверительная вероятность Р=0,5.

Вероятная погрешность результата измерений, т. е. среднего арифметического значения, при нормальном законе распределения случайных погрешностей равна:

ε_А = σ_A = .

Следует отметить, что указанный способ определения доверительных интервалов справедлив только при большом количестве измерений (n > 20 – 30). На практике чаще всего значение ε_А приходится определять по результатам сравнительно небольшого количества измерений. В этом случае при нормальном законе распределения для определения доверительного интервала нужно пользоваться коэффициентами Стьюдента которые зависят от задаваемой доверительной вероятности Р и количества измерении n (табл. 2.1).

Таблица 2.1

n	Р
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,959
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7	636,6
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9	31,6
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8	12,9
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
6	0,73	0,92	1,2	1,4	2,0	2,6	3,4	4,0	6,9
7	0,72	0,90	1,2	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7	6,0
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5	5,4
9	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4	5,0
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3	4,8
15	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	3,0	4,1
20	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,5	2,9	3,9
30	0,68	0,85	1,1	1,3	1,7	2,0	2,5	2,8	3,7