Выбор или разработка математической модели и метода решения

Модель представляет собой описание объекта (предмета, процесса или явления) на каком-либо формализованном языке, составленное с целью изучения его свойств. Если речь идет о математической модели, значит она представлена на формализованном языке математики, с помощью математических понятий. Соответствие свойств модели исходному объекту характеризуется адекватностью. Процесс построения и исследования модели называется моделированием. В случае разработки программного обеспечения объектом моделирования может выступать любой элемент или элементы из предметной области, которые задействованы в процессе компьютерной обработки. Как правило, при проектировании программного обеспечения могут использоваться следующие типы моделей:

1. Приближение (параметры считаются очень большими или очень малыми). Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую задачу, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае – использование приближений. Например, модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, где потенциальной энергией молекул можно пренебречь (т.е. считать бесконечно малой) по сравнению с их кинетической энергией.

2. Упрощение (опускаются некоторые детали). В модели отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа приближение или упрощение – это зависит от объекта, для изучения которого используется модель. Например, некоторые сложные нелинейные уравнения заменяются линейными, т.е. все нелинейные детали «для ясности» опускаются.

3. Эвристика (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела). Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт описания объекта только «по порядку величины». Типичный пример – приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Она даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Чтобы построить математическую модель решаемой задачи, необходимо: внимательно изучить постановку задачи; выбрать или разработать математические методы, позволяющие правильно описать задачу; чётко представить на языке математики описание задачи и цели решения. Грамотное построение математической модели решения задачи – это самостоятельная научная проблема.

Любую математическую задачу можно решить двумя способами: аналитически (точно); численно (приближённо). При решении аналитическим методом исходные зависимости преобразуются так, чтобы получить математические зависимости (формулы) для точного определения результата решения. По полученным формулам можно с помощью ЭВМ получать почти точное решение. Пример такой задачи: решение квадратного уравнения. Однако большинство реальных задач нельзя решить аналитическим методом. В этом случае применяют численные методы, которые позволяют получить приближённое решение с помощью простых вычислительных действий. Пример: нахождение корня уравнения методом половинного деления (метод дихотомии). Численные методы позволяют получить приближённые решения большинства реальных задач. Разработкой численных методов занимается специальный раздел математики – вычислительная математика.