3.3.2. Быстрое преобразование Фурье

Преобразование Фурье действительной или комплекснозначной функции x(t), заданной на бесконечном интервале, представляет собой комплексную величину

Если область интегрирования не ограничена, то, как уже отмечалось ранее, преобразование X() не существует, если реализация x(t) обладает всеми свойствами стационарного случайного процесса. Ограничив интервал задания функции х(t), скажем, приняв его равным [0, Т], можно построить конечное преобразование Фурье

(7)

Предположим теперь, что функция x(t) представлена N эквидистантными наблюдениями с интервалом дискретности h, который выбран таким образом, что частота среза достаточно высока. Поскольку t₀= О, моменты t_n = nh (в данном случае удобно начать с п = 0). Уравнение (6) запишется в виде:

Дискретная аппроксимация выражения (7) при произвольном значении f есть:

(7a)

Для расчета функции X(f, T) обычно выбираются дискретные значения частоты:

Преобразованная последовательность дает на этих частотах составляющие Фурье:

(8)

причем интервал дискретности h внесен в значение X(f_k, T), чтобы перед знаком суммы не было множителя. Заметим, что преобразование однозначно только до значений k=N/2, поскольку этой точке соответствует частота Найквиста. Быстрое преобразование Фурье применяется для вычисления последовательности X_k, но может быть также использовано для нахождения коэффициентов Фурье A_q и B_q из соответствующих формул. Упростим обозначения, положив:

Заметим, что W(N) = 1 и при всех и и v справедливо равенство

Положим также:

Формула (8) примет теперь вид:

(9)

Следует внимательно рассмотреть уравнения (8) и (9), представляющие собой не что иное, как преобразование Фурье последовательности х(п), содержащей конечное число N членов. Для расчета всех значений X(k) по этим формулам необходимо выпол­нить примерно N² операций умножения и сложения комплексных чисел (одна такая комплексная операция эквивалентна четырем операциям умножения и сложения действительных чисел).

Идея быстрого преобразования Фурье. Быстрое преобразование Фурье основывается на представлении величины N в виде ряда (отличных от единицы) сомножителей и в выполнении обычного преобразования Фурье для более коротких последовательностей, число членов в которых определяется соответствующими сомножителями. Если N может быть представлено в виде произведения р целых и больших единицы чисел

то, как доказано ниже, входящая в уравнение (9) последовательность X(k) может быть найдена итеративно путем расчета суммы р слагаемых:

(N/r₁) преобразований Фурье, каждое из которых требует 4r₁² операций с действительными числами;

(N/r₂) преобразований Фурье, каждое из которых требует 4r₂² операций с действительными числами;

………………………………………….

(N/r_p) преобразований Фурье, каждое из которых требует 4r_p² операций с действительными числами.

Таким образом, общее число операций:

В результате при использовании БПФ, а не стандартного метода получаем коэффициент ускорения вычислений (к.у.в.):

Пример 9.3. Коэффициент ускорения вычислений для 2р, где р - целое число.

В этом случае, согласно формуле для к.у.в.:

Однако скорость вычислений можно увеличить еще вдвое, используя следующее свойство: при N = 2р все значения W(kn) равны либо +1, либо -1. Таким образом:

(10)

Но и этот результат представляет собой лишь консервативную оценку; в действительности можно добиться нового двукратного увеличения скорости, разделив исходную реализацию пополам и производя расчет. В частности, при N = 2¹³ = 8192 из формулы (10) получаем, что к.у.в.=(8192/52) « 158.

Оценка спектральной плотности. Полученные результаты показывают, что первичная оценка спек тральной плотности для отдельной реализации x(t) на частоте f, имеет вид:

(11)

Так как Т = Nh, то, согласно обозначению (7а),

На стандартных дискретных значениях частоты:

которые получают при использовании метода БПФ, коэффициенты ряда Фурье определяются формулой (8):

(12)

Таким образом, как вытекает из соотношений (11) и (12), оценка спектральной плотности принимает вид

26