3. Цифровые методы анализа

Эта глава посвящена цифровым методам исследования случайных процессов. Большая часть приведенных формул записана для случая, когда обрабатываемые данные представляют собой дискретные временные ряды, являющиеся реализациями стационарных (эргодических) случайных процессов. В главе рассмотрены задача исключения тренда, цифровая фильтрация, построение ряда Фурье и быстрое преобразование Фурье, вычисление плотностей распределения, корреляционных функций и спектральных плотностей, оценивание частотных характеристик и функций когерентности. Изложение ведется для случаев линейных систем с одним или несколькими входными процессами.

В этом разделе описан ряд основных операций, которые могут быть выполнены в цифровой форме при обработке отдельной реализации случайного процесса. Приводимый перечень ни в коей мере не является исчерпывающим, и его не следует автоматически применять ко всем данным наблюдений. Отдельные разделы описываемой ниже процедуры могут быть при необходимости исключены, другие, наоборот, расширены и дополнены, если этого требует конкретная задача. Однако здесь указываются основные операции, которые должна выполнять цифровая ЭВМ, осуществляющая обработку данных наблюдений.

3.1. Дискретное представление процессов

Дискретизация процессов. Пусть в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал времени t=h, производится выборка из отдельной реализации u(t) случайного процесса с непрерывным временем. Величина этого интервала определяет рассмотренную частоту свертывания (или частоту Найквиста). Пусть:

- численные значения реализации в N точках

Рис. 10. Дискретное представление непрерывного процесса.

Точка t₀ выбирается произвольно и в случае, если п принимает значения от 1 до N, а не от 0 до N - 1, в дальнейшие формулы не входит.

Определение объема выборки. Объем выборки N следует по возможности определять исходя из желаемой точности последующих оценок. Правила такого выбора рассматриваются в последующих разделах этой главы. Исходные данные могут быть представлены в виде:

Процедура дискретного представления процесса иллюстрируется рис. 10. Заметим, что длина реализации Т_r должна удовлетворять равенству T_r=Nh.

Вычисление среднего значения. Выборочное среднее значение находится в виде:

где N - число отсчетов, а u_n значения отсчетов. Рассчитываемая по этой формуле величина и представляет собой несмещенную оценку истинного среднего значения и.

Приведение процесса к нулевому среднему значению.

Для упрощения последующих расчетов и выкладок желательно преобразовать процесс таким образом, чтобы среднее его значение было равно нулю. Определим новую реализацию в виде . Тогда последовательность {х_п} значений функции x(t) определяется в виде

Заметим, что =0. Цель представления исходного процесса в виде последовательности {х_п}, а не {и_п} состоит в том, чтобы показать, что среднее значение последовательности {х_п} равно нулю. В последующих формулах будет использоваться именно эта преобразованная последовательность {х_п}.

Вычисление стандартного отклонения. Выборочное стандартное отклонение определяется как:

где N-число отсчетов, а х_п - значения преобразованного процесса со средним =0. Рассчитываемые по этой формуле величины s и s² представляют собой несмещенные оценки истинных значений стандартного отклонения _х и дисперсии _х².

Приведение к единичному стандартному отклонению. При использовании вычислительной машины с фиксированной, а не с плавающей запятой удобно выполнить еще одно преобразование процесса. Умножая преобразованные значения х_п на 1/s, получим последовательность:

Такой процесс будет иметь нулевое последовательность выборочное среднее значение и равное единице выборочное стандартное отклонение.