1. Имитационное моделирование случайных потоков Описание моделируемой системы

Цель работы – познакомиться с методикой имитации на ЭВМ потока случайных событий с ограниченным последействием и статистической оценкой характеристик потока.

Поток – это последовательность событий, разделенных временными интервалами и упорядоченных во времени. Упорядоченность событий позволяет пронумеровать моменты их появления: …, t(i-1) < t(i) < t(i+1), …. В теоретических исследованиях удобно считать, что поток заполняет всю ось времени: -∞ < t(i) < +∞. Моделируют часть этого потока на интервале времени (0; Tmod). Интервалы времени между событиями (i) = t(i) - t(i-1) могут быть: 1) постоянными величинами; 2) переменными величинами, изменяющимися по определенному закону; 3) случайными величинами. События в потоке могут быть: 1) одинаковыми; 2) отличающимися друг от друга.

Примеры:

• Поток звонков на телефон. Интервалы – случайные, события одинаковые.

• Поток покупок билетов на киносеанс в билетной кассе. Интервалы – случайные, события отличаются числом приобретаемых билетов, которое является случайным.

• Поток узлов ЭВМ, поступающих по конвейеру к рабочему на сборку. Интервалы - постоянные, события – одинаковые.

• Поток значений температуры воздуха, сообщаемых ежедневно в вечерних новостях. Интервалы – постоянные, значения температуры (параметр события) – случайные.

Поток называют случайным, если в нем интервалы между событиями и/или события являются или описываются случайными величинами.

Случайный поток называют однородным, если вероятностные характеристики потока не меняются во времени (точнее, не зависят от выбора начала отсчета времени).

Случайный поток называют ординарным, если в нем в любой момент времени появляется не более одного события (т.е. либо одно, либо ни одного).

Случайный поток называют потоком без последействия, если в нем события на непересекающихся отрезках времени не зависят друг от друга.

Случайный поток называют простейшим (другое название – однородный пуассоновский), если он – однородный, ординарный и без последействия. Необходимое и достаточное условие, чтобы поток был простейшим: интервалы (i) должны быть независимы и одинаково распределены по показательному закону  ~ Ex(λ). Другой (эквивалентный) вариант условия: число событий в простейшем потоке на произвольном отрезке времени T должно быть распределено по закону Пуассона с параметром λT, т.е. n(T) ~ Po(λT).

Случайный поток называют потоком Пальма, если этот поток – однородный и ординарный, а интервалы между событиями – независимые и одинаково распределенные случайные величины.

Основная характеристика однородных и ординарных потоков – интенсивность потока λ, [событий/единица времени]. Это - среднее число событий, появляющихся в потоке в единицу времени.

Случайный поток называют потоком с накоплением дисперсии, если момент появления очередного события зависит от момента появления предыдущего события, и потоком без накопления дисперсии, если такой зависимости нет.

Компьютерное моделирование потоков событий. Моделирование с постоянным шагом по времени

При таком виде моделирования изменения состояний системы во времени на модели имитируют, связывая моменты изменения состояний со значениями переменной t модельного времени, которые меняются с постоянным шагом T: t := t + T. Число событий, появляющихся в случайном потоке на интервале T, будет случайным. Обозначим распределение числа событий на единичном интервале времени (T = 1) через Distr(a), где a – вектор параметров распределения. Считаем известными распределение Distr(a) и зависимость параметров от интервала T: a_T = a (T).

Моделирование потока – это получение числа событий на каждом интервале T в течение моделируемого отрезка времени [0; Tmod]. Алгоритм моделирования имеет вид:

Алгоритм 1

1. Вычисление вектора параметров a_T = a (T)

2. t = 0; k = 0

3. Пока t < Tmod выполнять:

   1. k = k + 1; t = t + T

   2. Генерация n(k) ~ Distr(a_T)

   3. Для j =1,…,n(k) задание или генерация атрибутов событий

Здесь k – порядковый номер интервала.

При другом варианте алгоритма моделирование продолжается, пока не будет достигнуто заданное число событий Nmod. Этот вариант имеет вид:

Алгоритм 2

1. Вычисление вектора параметров a_T = a (T)

2. t = 0; k = 0; Sn = 0

3. Пока Sn < Nmod выполнять:

   1. k = k + 1; t = t + T

   2. Генерация n(k) ~ Distr(a_T)

   3. Sn = Sn + n(k)

   4. Для j =1,…,n(k) задание или генерация атрибутов событий

Пример

Особенности моделируемого потока событий:

• число событий на единичном интервале распределено по геометрическому закону с параметром r;

• среднее число событий Mn пропорционально продолжительности интервала T.

Требуется смоделировать поток, содержащий не менее, чем Nmod событий с заданным шагом по времени T.

Определим значение параметра r(T) геометрического распределения для интервала T. Mn(T = 1) = r / (1 - r). Тогда:

Алгоритм 2 (пример)

1. Вычисление параметра r(T) = rT / (1 – r + rT)

2. t = 0; k = 0; Sn = 0

3. Пока Sn < Nmod выполнять: k = k + 1; t = t + T; Генерация n(t) ~ Ge(r(T)); Sn = Sn + n(t)