Компьютерное моделирование потоков событий. Моделирование по состояниям

При таком виде моделирования генерация потока сводится к получению последовательных моментов времени появления очередного события. В зависимости от исходных условий генерируются интервалы (k) времени между (k – 1)-м и k-м событиями.

Алгоритм 3

1. t(0) = 0; k = 0

2. Пока t(k) < Tmod выполнять:

   1. Вычисление вектора параметров a(k)

   2. Генерация  ~ Distr(a(k))

   3. k = k + 1; t(k) = t(k-1) + 

   4. Задание или генерация атрибутов k-го события.

Здесь k – порядковый номер события, Distr(a(k)) – закон распределения интервала с вектором a(k) параметров k-го события.

Вариант алгоритма с прерыванием потока по числу сгенерированных событий имеет вид:

Алгоритм 4

1. t(0) = 0; k = 0

2. Пока k < Nmod выполнять:

   1. Вычисление вектора параметров a(k)

   2. Генерация  ~ Distr(a(k))

   3. k = k + 1; t(k) = t(k-1) + 

   4. Задание или генерация атрибутов k-го события.

Пример

Особенности моделируемого потока событий:

• интервалы между событиями в потоке – независимые и одинаково распределенные по показательному закону Ex(a) случайные величины.

• среднее значение интервала зависит от текущего времени на момент появления предыдущего события и изменяется согласно зависимости: M(t) = m₀ + m₁ cos(2t/T_a).

• атрибутом каждого события является приоритет P, равный 1 или 2 с вероятностями соответственно p(1) и p(2) = 1 - p(1).

Смоделировать поток на отрезке времени [0; Tmod].

Алгоритм 3 (пример)

1. t(0) = 0; k = 0

2. Пока t(k) < Tmod выполнять:

   1. Вычисление a = 1 / ( m₀ + m₁cos(2t(k)/T_a))

   2. Генерация:  = -1 / a Ln(Rnd)

   3. k = k + 1; t(k) = t(k - 1) + 

   4. Генерация приоритета k-го события: z = Rnd; если z < p(1), то P(k) = 1, иначе P(k) = 2.

Дополнительная информация:

Связь характеристик св с параметрами законов распределения

Закон распределения	МО	Дисперсия
1. Биномиальный	np	npq
2. Пуассона	a	a
3. Геометрический	r/(1-r)	r2/(1-r)
4. Равномерный	(a+b)/2	(b-a)2/12
5. Экспоненциальный	1/a	1/a2
6. Нормальный	m	σ2
7. Бета-распределение	см. ниже
8. Распределение Эрланга	(k+1)/	(k+1)/2

Для бета-распределения:

Характеристики св

,

Генерация случайных величин по заданному закону распределения

1. Равномерное

2. Распределение Эрланга

,

где a – первый параметр закона Эрланга, b – второй.

3. Нормальное распределение

Для получения нормальных чисел можно использовать формулу

,

где m и  – параметры нормального распределения.

4. Показательное (экспоненциальное) распределение

,

где a – параметр экспоненциального распределения

5. Бета-распределение

Метод Йонка:

• Генерация ПСЧ x₁ и x₂

• Если (x₁)^1/a + (x₂)^1/b  1, то переход к п.1, иначе y_i = (x₁)^1/a / ((x₁)^1/a + (x₂)^1/b)

Алгоритм для дискретных величин

1. Генерация

2. k = 0; p = p(k)

3. x = x – p

4. Если x < 0, то перейти к п.5, иначе: p = p (k); k = k+1; перейти к п.3

5. y = k.

6. Пуассона

7. Биномиальное

8. Геометрическое

Общее замечание

-случайное число, распределенное по равномерному закону с параметрами a=0, b=1 (возвращается функцией random без параметров в Pascal и C++; при этом не забывать инициализировать генератор случайных чисел перед вызовом этих функций – RANDOMIZE).

- случайное число, распределенное по заданному закону распределения.

2. Статистическая обработка результатов компьютерного моделирования

Исходные данные имеют вид таблицы, пример которой приведен ниже.

Таблица

Трассировка длины очереди

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
t	5.10	8.11	14.81	17.38	32.44	35.24	37.01	37.21	38.64	40.15	44.35	46.62	47.72	60.11
r	5	6	7	6	7	6	5	4	3	4	5	4	5	4

Здесь k – порядковый номер очередного изменения длины очереди, t – момент времени этого изменения, r – длина очереди (число заявок в очереди) в результате этого изменения.

Для получения таблицы с исходными данными для заданного варианта следует программно реализовать алгоритм, позволяющий искусственно смоделировать необходимые данные

Алгоритм

1. Генерация ППСЧ z(k) ~ Distr_z(a), k = 1, … , N.

2. Преобразование z(k) в знаковый массив zs(k) = sign(z(k) - Mz))

3. Формирование массива длины очереди по формуле

4. Генерация моментов времени изменения длины очереди t(0) = 0; t(k) = t(k - 1) + Distr_τ(b), k = 1, … , N.

Распределения Distr_z(a) - вспомогательных случайных величин z и Distr_τ(b) - интервалов времени τ между изменениями длины очереди, параметры a и b этих распределений, объем выборки N и математическое ожидание Mz приведены в таблице вариантов заданий.

По полученной трассировочной таблице длины очереди строится трассировочный график, описывающий динамику изменения длины очереди во времени. Для рассматриваемого примера он приведен на рис.50.

Распределение длины очереди – дискретное. Его оценка приведена в таблице

r	3	4	5	6	7
P*(r)	0.025	0.272	0.202	0.139	0.362

Рис.50

Значения оценок вероятностей P*(r) длины очереди получены по формуле

Здесь в числителе стоит сумма отрезков времени моделируемого интервала, в течение которых длина очереди была равна r, а в знаменателе – длина моделируемого интервала от T_н до T_к. Например, для r = 4 получим

P*(r = 4) = ((37.21 – 37.01) + (40.15 – 38.64) +

+ (46.62 – 44.35) + (60.11 – 47.72)) / (60.11 – 0) = 0.272

Зная оценку закона распределения длины очереди, легко вычислить оценки числовых характеристик: среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации