3.2. Применение цифровых фильтров

Фильтрацию данных наблюдений можно осуществлять с целью сглаживания процесса, выделения составляющих в отдельных частотных диапазонах и исследования их свойств. На рис. 11 показано действие высокочастотного и низкочастотного фильтров на процесс, состоящий из суммы гармонического колебания и высокочастотного шума. Высокочастотный фильтр пропускает обладающий высокой частотой шум, а низкочастотный - выделяет сглаженное гармоническое колебание.

Общее соотношение между процессами x(t) на входе и y(t) на выходе линейного фильтра дается интегралом свертки:

где h() - весовая функция фильтра, которая определяется как реакция системы в некоторый момент t на единичную импульсную функцию, поданную на вход системы в момент t-. Его частотная характеристика представляет собой преобразование Фурье функции h():

При построении цифрового фильтра в противоположность аналоговому случаю нет необходимости вводить условие физической осуществимости. Иначе говоря, не нужно требовать, чтобы весовая функция h() была равна нулю при <0,поскольку данные могут быть накоплены в ЦВМ и в нужный момент поданы на фильтр для фильтрации их в обратном порядке.

Примеры идеальных амплитудных частотных характеристик |H()| низкочастотного, высокочастотного и полосового фильтров показаны на рис. 12. Частотные характеристики рассматривае­мых ниже цифровых фильтров, которыми аппроксимируются идеальные фильтры, изображены на рис. 12. Такие фильтры легко программируются, причем в программе достаточно указать лишь некоторые простые их параметры, в частности, частоту среза ₀ и требуемую скорость затухания частотной характеристики.

Рис. 11. Пример фильтрации низких и высоких частот.

а - исходная реализация; б - реализация после фильтрации высоких частот; в - реализация после фильтрации низких частот.

Рис. 12. Амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров а - низкочастотный фильтр, б - высокочастотный фильтр, в – полосовой фильтр

Рис. 13. Амплитудные частотные характеристики цифровых фильтров. а - низкочастотный фильтр, б - высокочастотный фильтр, в – полосовой фильтр

3.3. Ряд Фурье и быстрое преобразование Фурье

Построение ряда и преобразования Фурье теоретически представляют собой различные операции, но в большинстве практических приложений численная реализация этих операций осуществляется одинаковым образом. Это объясняется тем, что для дискретной реализации можно построить ряд или преобразование Фурье только в конечном диапазоне частот, и этот диапазон определяется величиной основного периода при вычислении соответствующего ряда Фурье. Одна из основных причин использования быстрого преобразования Фурье состоит в том, что оно позволяет получить оценки спектральной плотности и корреляционной функции. Прежде чем излагать алгоритм быстрого преобразования Фурье, полезно рассмотреть, каким образом вычисляется обычный ряд Фурье.

3.3.1. Ряд Фурье

Если предположить, что реализация x(t) обладает периодич­ностью и период ее равен Т_р, а основная частота f_x = 1/Т_р, то реа­лизация может быть представлена рядом Фурье

где:

Пусть реализация x(t) имеет конечную длину Т_r = Т_p , равную основному периоду. Предположим также, что она состоит из четного числа N эквидистантных наблюдений с интервалом дискретности h, который выбран таким образом, что частота среза f_c = 1/2h достаточно высока. Будем считать, что нулевая ордината реализации равна нулю, и обозначим, как и прежде, преобразованную последовательность в виде:

(6)

Вычислим теперь по всем N значениям реализации конечный ряд Фурье. Для любой точки t, принадлежащей интервалу (0, Т_р), этот ряд имеет вид:

Коэффициенты А₀ и B₀ определяются выражениями:

Программа для расчета величин A₀ и B₀ должна содержать следующие операции:

1. определение величины 0 = 2qn/N при фиксированных значениях q и п;

1. вычисление cos и sin ;

2. вычисление x_n*cos  и x_n*sin ;

3. вычисление суммы для каждого из этих выражений при n= 1, 2, .... N;

4. приращение аргумента q на единицу и повторение всех перечисленных действий.

Такой способ требует выполнения примерно .N² операций умножения и сложения действительных чисел.

Поскольку затраты машинного времени и стоимость расчетов зависят от N², при больших N такой стандартный метод вычисления коэффициентов A₀ и B₀ может оказаться дорогостоящим и потребовать значительного времени. Чтобы существенно снизить затраты машинного времени, были разработаны и введены в практику другие способы расчета, получившие название быстрого преобразования Фурье (БПФ). Рассмотрим детально эти важные методы, применяемые для цифрового анализа случайных процессов.