5.3.3. Графоаналитический метод

Графический метод прост, но громоздок и не точен при получении количественных результатов. Для количественных оценок используют аппроксимацию графических входных или передаточных характеристик аналитически заданными функциями. Такой метод называется графоаналитическим. Наиболее типична аппроксимация многочленами:

Если известны коэффициенты аппроксимирующего многочлена для характеристики безынерционного нелинейного четырехполюсника, то выходной сигнал находят простой подставной:

5.3.4. Численные методы

Если для безынерционного нелинейного четырехполюсника нельзя или очень трудно задать графически входную или передаточную характеристику, то графический и графоаналитический методы неприменимы. В этих случаях составляют полную систему уравнений цепи по законам Кирхгофа и Ома и исходят ее численные методы.

Поясним этот подход на примере. Пусть задана резистивная цепь, схема которой приведена на рис. Составим уравнение цепи

Это нелинейное уравнение, решить которое относительно U(t) можно для любого значения e(t) методы простым итераций, методом Ньютона или любым другим методом численного решения нелинейных уравнений.

5.4. Преобразование спектров сигналов в нелинейных цепях и его практическое применение.

5.4.1. Общие положения

Одним из важнейших свойств нелинейных цепей является преобразование спектра входных сигналов. Оно заключается в том, что при действии на входе цепи гармонического или импульсного сигнала, состоящего из суммы нескольких гармонических колебаний различных частот, реакция (т.е. ток или напряжение любой ветви) будет содержать не только гармоники воздействия, но и новые гармоники, которых нет во входном сигнале.

Такое свойство преобразование спектра принципиально невозможно в линейных цепях с постоянными параметрами (RLC - цепях). Там токи и напряжения в любой ветви состоят только из гармоник, содержащихся во входном сигнале.

Пусть задана нелинейная резистивная цепь с передаточной (или входной) характеристикой, заданной в виде степенного полинома. Пусть это, например, ВАХ в виде:

(1)

Рассмотрим сначала действия на цепь гармонического сигнала

(2)

Подставим (2) в (1), получаем

Из тригонометрии известно, что

Как видно, гармоническая функция степени n эквивалентна сумме функций кратных частот, причем четная степень содержит только четные гармоники, нечетная - только нечетные. Очевидно, что наибольшая частота гармоник, равная n, определяется старшей степенью полинома характеристики цепи:

В общем виде можно записать

l - четные

l - нечетные

На рис. изображен дискретный спектр входного и выходного сигналов для нелинейности общего вида (а), четной (б) и нечетной (в) функций i(U).

Рассмотрим теперь действие на цель сигнала, состоящего из суммы двух гармонических функций с частотами _и _:

Реакция цепи будет состоять из суммы степеней двучленов

При n=2, 3 степени двучленов будут таким

В отличие от воздействия одного сигнала при воздействии сигнала в виде суммы двух функций в отклике имеются еще и дополнительные слагаемые в виде произведения степеней (), где m=1,2,...,n. При этом все степени гармонических функций дают суммы гармоник кратных частот.

Произведения двух гармонических функций дают гармонические функции с частотами, равными разностям и суммам частот сомножителей. В качестве первого приближения можно записать

Таким образом, в произведении степеней имеем в общем случае частоты _mn=±m₁±n₂, m=1, 2, ..., n. Колебания с частотами _mn называется комбинационными, а сумма - порядком комбинационного колебания.

Спектр сигнала на выходе безынерционного нелинейного четрырехполюсника в случае действия на него четырехполюсника в случае сигналов на входе суммы двух гармонических сигналов приведен на следующем рисунке.

Таким образом в общем случае при действии суммы двух гармонических сигналов отклик цепи содержит колебания комбинационных частот

(3)

Появление в спектре выходного сигнала нелинейного элемента составляющих, которых не было во входном сигнале, широко используют в технике.

Важнейшими применениями этого явления являются умножение частоты, модуляция и детерминирование (демодуляция). Во всех устройствах, в которых производится эти преобразования, нелинейные элементы используются совместно с линейными цепями - фильтрами.