1.10. Корреляционные и спектральные характеристики модулированных сигналов.

Особенности определения корреляционных и спектральных характеристик модулированных сигналов рассмотрим для непрерывных видов модуляции. Для других видов эти характеристики изучаются аналогично. Для многих видов непрерывной модуляции модулированный сигнал можно рассматривать как узкополосный процесс вида (2). Поэтому характеристики модулированного сигнала изучают методами, изложенными в разделе “Узкополосные сигналы”. Покажем, как определяют корреляционную функцию и спектральную плотность модулированного сигнала. Применяя операцию усреднения по времени к корреляционной функции

и выражая cos[₁t+Ф(t)] в формуле (2) через показательные функции по формуле Эйлера, находим

После перемножения функций, стоящих под интегралами получим

В первых двух интегралах множители exp(2j₁t) и exp(-2j₁t) являются быстроизменяющимися по сравнению с функциями A(t),A(t-),Ф(t),Ф(t-), поэтому значениями этих интегралов можно принебречь по сравнению со значением третьего интеграла. Следовательно,

(5)

Выражение (5) - основное для определения корреляционных функций модулированных сигналов при различных видах непрерывной модуляции.

Рассмотрим в качестве примера балансную модуляцию случайным процессом U(t) с корреляционной функцией K₁()=De^{} гармонического колебания с единичной амплитудой X(t)=cos₀t. В этом случае S(t)=U(t)cos₀t и интеграл (5) принимает простой вид:

Интеграл в правой части - корреляционная функция K₁() огибающей U(t), а (cos₀)/2 - корреляционная функция K₂() гармонического колебания. Поэтому, как и следовало ожидать (см. раздел “Узкополосные колебания”), корреляционная функция гармонического колебания, балансно-модулированного случайным процессом, равна

K()=K₁()K₂()=0.5De^{}cos₀ (6)

Спектральная плотность гармонического колебания, балансно-модулированного случайным процессом, определим с помощью соотношения Хинчина-Винера (54) :

Окончательно имеем :

(7).

Следовательно, спектр гармонического колебания, болансно-модулированного случайным процессом, имеет две боковые полосы частот в областях ₀ и -₀. Если на основе балансно-модулированного сигнала образовать аналитический сигнал , его спектральная плотность будет лежать только в области положительных частот :

(8)

С учетом (56) и (57) ширина спектра аналитического модулированного сигнала

(9)

Следовательно, спектр аналитического модулированного сигнала имеет такую же ширину, что и спектр полезного сигнала , (см. телеграфный сигнал), но он расположен в области ₀. Использование (9) позволяет определить условие узкополосности модулированного сигнала (/₀<<1) через параметры корреляционных функций полезного сигнала и переносчика :

/₀=/2F₀<<1, (10)

где F₀ - средняя линейная частота переносчика.

Если для балансно-модулированного сигнала условие (10) выполняется, он может рассматриваться как узкополосный со средней частотой F₀. Таким образом, алгоритм определения корреляционной функции и спектральной плотности модулированных сигналов прост : для конкретных видов модуляции необходимо вычислить интеграл (5) и с помощью соотношения Хинчина-Винера определить спектральную плотность. Однако для многих видов модуляции реализация этого алгоритма наталкивается на трудности вычислительного характера.