Весна 16 курс 3 ОрТОР / Теория АД / Термодинамика и теплопередача Никифоров А.И.-3

22

9.7. Теплопроводность цилиндрической однослойной стенки

Задача о теплопроводности цилиндрической стенки представляет большой технический интерес. Решение такой задачи позволяет провести расчёт передачи тепла в трубах, которые широко используются как поверхность нагрева в различного вида теплообменниках.

Предполагаем, что температура не меняется по оси трубы и по окружности трубы, по углу φ (рис. 9.6.), т. е. как и в случае плоской стенки, задача является одномерной.

Рис. 9.6. Цилиндрическая однослойная стенка. Теплота передается от внутренней поверхности к внешней

Допустим, что стенка выполнена из однородного материала, коэффициент теплопроводности λ которого известен и не зависит от температуры. Известны также внутренний и наружный радиусы трубы r1, r2 и температуры внутренней и наружной поверхности t1 и t2, которые не меняются во времени.

Выделим в стенке трубы цилиндрическую поверхность радиусом r, площадь которой:

где l – длина трубы.

23

Количество теплоты, переданной через эту поверхность, можно определить по уравнению Фурье:

Это количество теплоты должно равняться тому количеству, которое проходит через внутреннюю поверхность. Следовательно, величина Q постоянна и не зависит от значения текущего радиуса r. Это позволяет разделить переменные в написанном уравнении:

Плотность теплового потока на внутренней поверхности будет:

24

на наружной поверхности:

Поскольку внутренняя и внешняя поверхности трубы имеют различную площадь, значения плотности теплового потока qr1 и qr2 различны. Чтобы найти значение температуры на любом радиусе r в толщине цилиндрической стенки,

проинтегрируем левую часть уравнения (9.26) в пределах от t1 до текущего значения температуры t, а правую – от r1 до текущего значения радиуса r:

откуда:

Подставим в последнее выражение известную величину Q из уравнения

(9.29):

Зависимость температуры от радиуса в цилиндрической стенке изображается логарифмической кривой (линия t1…t2, рис. 9.6.).

Подставляя значения Q в уравнение (9.26), найдём выражение для градиента температуры в цилиндрической стенке:

Градиент температуры в цилиндрической стенке измеряется обратно пропорционально радиусу. Угол наклона линии t = t (r) к горизонтальной оси уменьшается по мере увеличения радиуса.

Поэтому при направлении теплового потока наружу кривая расположена выпуклостью вниз (см. рис. 9.6.), а при направлении теплового потока внутрь трубы – выпуклостью вверх (рис. 9.7.).

Рис. 9.7. Цилиндрическая однослойная стенка. Теплота передается от внешней поверхности к внутренней

Иногда для расчётов теплового потока однослойной цилиндрической стенки пользуются видоизменённой формулой для плоской стенки:

где δ – толщина стенки, равная d 2 d1 , м;

2

28

откуда:

Если количество слоёв будет больше трёх, то можно написать:

Очевидно, что для многослойной цилиндрической стенки температурная кривая представляет собой ломаную линию, составленную из отрезков логарифмических линий.

9.9. Контактное тепловое сопротивление

Выше при анализе теплопроводности многослойных стенок мы считали, что контакт между соприкасающимися поверхностями является идеальным и поэтому температуры этих поверхностей одинаковы. Однако на реальных поверхностях всегда имеются микроскопические неровности. Поэтому соприкосновение тел происходит не по всей поверхности, а лишь по отдельным небольшим зонам (рис. 9.9.); остальные участки поверхностей контактирующих тел разделены прослойкой газа (или жидкости, если тела погружены в жидкость).

Рис. 9.9. Модель неидеального контакта между телами

Поэтому теплообмен между телами происходит частично через зоны фактического контакта, а частично – через газовую или жидкую прослойку. Это приводит к появлению теплового сопротивления в месте соприкосновения

29

поверхностей (контактное тепловое сопротивление). Опыт показывает, что в месте контакта происходит скачок температуры, обусловленный указанным тепловым сопротивлением (рис. 9.10.).

Рис. 9.10. К объяснению контактного теплового сопротивления

Этот скачок температуры (∆tк) связан с плотностью теплового потока q и контактным тепловым сопротивлением (Rк) следующим уравнением:

Rк – контактное тепловое сопротивление.

Величина Rк зависит от природы, чистоты обработки (рис. 9.11.) и

твердости контактирующих поверхностей.

С ростом силы сжатия (давления p) тепловое сопротивление уменьшается, так как при этом увеличивается площадь фактического контакта

(рис. 9.12.).

30

Сопротивление контакта уменьшается, если пространство между поверхностями заполнить более теплопроводной средой (например, водородом вместо воздуха).

Повышение температуры в зоне контакта обычно понижает величину Rк, так как с ростом температуры повышается коэффициент теплопроводности газов. Уменьшение величины Rк можно достигнуть применением покрытий или тонких металлических прокладок, имеющих малую твердость и высокий коэффициент теплопроводности.

Когда величина Rк соизмерима с тепловым сопротивлением самих стенок, то её следует учитывать в расчётах. Для плоской двухслойной стенки уравнение теплопроводности с учётом сопротивления контакта имеет вид:

Значения Rк определяют по опытным данным или расчётным путём с помощью полуэмпирических методов.