Весна 16 курс 3 ОрТОР / Теория АД / Термодинамика и теплопередача Никифоров А.И.-3

11

Градиент температуры. Производная температуры по нормали к изотермической поверхности называется градиентом температуры:

Эта величина является вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры (см. рис. 9.1.).

Градиент температуры характеризует интенсивность изменения температуры в направлении нормали. Интенсивность изменения температуры в произвольном направлении меньшая, чем в направлении нормали, и равна проекции на это направление:

t t cos n,l .

l n

9.3.Тепловой поток. Плотность теплового потока. Закон Фурье

9.3.1.Тепловой поток

Количество тепла, проходящее через данную поверхность в единицу

Дж

времени, называется тепловым потоком Q, Вт . Количество тепла, через

c

единицу поверхности в единицу времени, называется плотностью теплового потока или удельным тепловым потоком и характеризует интенсивность теплообмена.

Плотность теплового потока q, направлена по нормали к изотермической поверхности в сторону, обратную градиенту температуры, т. е. в сторону уменьшения температуры.

Если известно распределение q по поверхности F, то полное количество тепла Qτ, прошедшее через эту поверхность за время τ, найдется по уравнению:

13

веса, влажности, химического состава, давления, температуры. В технических расчётах величину λ берут из справочных таблиц, причём надо следить за тем, чтобы условия, для которых приведено в таблице значение коэффициента теплопроводности, соответствовали условиям рассчитываемой задачи.

Особенно сильно зависит коэффициент теплопроводности от температуры.

Для большинства материалов, как показывает опыт, эта зависимость может быть выражена линейной формулой:

где λo – коэффициент теплопроводности при 0 °С; β – температурный коэффициент.

Коэффициент теплопроводности газов, а в особенности паров сильно зависит от давления. Численное значение коэффициента теплопроводности для различных веществ меняется в очень широких пределах – от 425 Вт/(м·К) у серебра, до величин порядка 0,01 Вт/(м·К) у газов. Это объясняется тем, что механизм передачи теплоты теплопроводностью в различных физических средах различен.

Металлы имеют наибольшее значение коэффициента теплопроводности. Теплопроводность металлов уменьшается с ростом температуры и резко снижается при наличии в них примесей и легирующих элементов. Так, теплопроводность чистой меди равна 390 Вт/(м·К), а меди со следами мышьяка

– 140 Вт/(м·К). Теплопроводность чистого железа 70 Вт/(м·К), стали с 0,5 % углерода – 50 Вт/(м·К), легированной стали с 18 % хрома и 9 % никеля – только

16 Вт/(м·К).

Зависимость теплопроводности некоторых металлов от температуры показана на рис. 9.2.

Газы имеют невысокую теплопроводность (порядка 0,01...1 Вт/(м·К)), которая сильно возрастает с ростом температуры.

Теплопроводность жидкостей ухудшается с ростом температуры. Исключение составляют вода и глицерин. Вообще коэффициент

14

теплопроводности капельных жидкостей (вода, масло, глицерин) выше, чем у газов, но ниже, чем у твердых тел и лежит в пределах от 0,1 до 0,7 Вт/(м·К).

Рис. 9.2. Влияние температуры на коэффициент теплопроводности металлов

9.4. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Одной из основных задач теории теплообмена является определение температурного поля, т.е. пространственно-временного распределения температуры в исследуемой области. Это распределение подчиняется дифференциальному уравнению теплопроводности, которое вытекает из закона сохранения и превращения энергии.

Вначале рассмотрим однородное тело, температура которого меняется только в направлении х.

Будем считать, что в теле отсутствуют внутренние источники тепла, а физические свойства не зависят от температуры. Выделим в этом теле (рис. 9.3.) объем толщиной dx; площадь поверхностей граней, перпендикулярных оси х, равна F. За время dτ в этот объём поступает тепло dQх; а выходит из него dQх+dx. Тогда:

где dQτ – количество тепла, аккумулированного телом и пошедшего на изменение его температуры.

16

Уравнение (9.14) является дифференциальным уравнением теплопроводности для одномерного температурного поля. В общем случае трёхмерного поля уравнение имеет вид:

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела, в котором происходит перенос тепла теплопроводностью. Комплекс

а называется коэффициентом температуропроводности. Как и величины, из которых составлен комплекс, коэффициент температуропроводности является физическим параметром вещества.

Из уравнений (9.14) и (9.15) видно, что скорость изменения температуры

t

в любой точке тела тем выше, чем больше величина а. Поэтому можно

считать, что коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств материала.

Дифференциальное уравнение теплопроводности получено на основе самых общих представлений о процессе и поэтому справедливо для всех без исключения процессов теплопроводности, протекающих без внутренних источников тепла. Чтобы получить решение, соответствующее конкретной задаче, надо к этому уравнению присовокупить математическое описание частных особенностей данного процесса. Эти частные особенности называются краевыми условиями. Они включают в себя временные и граничные условия.

Временные условия определяют температурное поле в изучаемом теле в какой-либо момент времени; поэтому часто временные условия называются начальными.

Граничные условия определяют значения переменных на границах пространства и в данном случае состоят в задании распределения температуры тела на его поверхности в функции времени или задании условий теплового взаимодействия тела с окружающей средой.

17

9.5. Теплопроводность плоской однослойной стенки

Рассмотрим плоскую однородную стенку толщиной δ, выполненную из материала, коэффициент теплопроводности которого λ не зависит от температуры. Левая поверхность стенки поддерживается при заданной постоянной по высоте стенки температуре tст1, правая – при более низкой, но тоже постоянной температуре tст2.

Температура стенки будет меняться только по её толщине, в направлении оси х (рис. 9.4.), т. е. температурное поле будет одномерным, а градиент

dt

температуры будет равен dx .

Рис. 9.4. Плоская однослойная стенка

Найдём плотность теплового потока через заданную стенку и установим характер изменения температуры по толщине стенки.

Уравнение Фурье для одномерного температурного поля будет:

q dxdt .

Чтобы проинтегрировать это уравнение, разделим переменные:

19

В практике технических расчётов чаще встречаются многослойные плоские стенки. При условии плотного прилегания отдельных слоёв решение задачи теплопроводности, полученное для однослойной плоской стенки, можно распространить и на многослойную стенку.

Для примера рассмотрим задачу о теплопроводности плоской трёхслойной стенки (рис. 9.5.).

Рис. 9.5. Плоская многослойная стенка

Каждый из слоёв состоит из однородного материала с коэффициентом теплопроводности каждого слоя λ1, λ2, λ3. Известны температуры наружных поверхностей многослойной стенки tст1 и tст4 и толщина каждого слоя δ1, δ2, δ3. Предположим, что температуры tст1 и tст4 постоянны, т. е. рассматриваем опять одномерную задачу; тогда постоянной и одинаковой для всех сло ёв будет и плотность теплового потока. Требуется определить величину q и температуры соприкасающихся поверхностей слоёв tст2 и tст3, которые по условиям задачи неизвестны.

20

Согласно закону Фурье плотность теплового потока через каждый из слоёв можно записать так:

q 1 tст 1 tст 2 ;

1

q 2 tст 2 tст 3 ;

2

q 3 tст 3 tст 4 .

3

Имеем три уравнения с тремя неизвестными:

Сложим левые и правые части уравнений (9.18):

откуда:

Очевидно, что если стенка будет иметь n слоёв, то: