Классики / Новая / Лейбниц / Сочинения. Т. 3

обозначения. Выражение же с помощью слов было бы, несомненно, весьма сложным, и пришлось бы обращать особое внимание на правильность их расположения. Я полагаю, что, будучи правильно расположены, они дадут тот же результат, хотя и не уверен, что столь же ясный. Точно так же и выводы легко получаются с помощью букв; это очевидно уже из того, что, как мы говорим, что Л есть то же, что само А, так и В можно назвать тем же, что само В. Последнее, как мне кажется, не столь же просто обнаруживается с помощью слов.

(111) Необходимо заметить, что возможно также по отношению ко всей цепи разложения найти некоторые общности, касающиеся этого процесса, хотя бы разложение и продолжалось до бесконечности. Во всяком случае, относительно этого можно найти подходящие рефлексивные слова, как и некоторые буквенные обозначения,

например Y. Но польза этого станет яснее в самом процессе.

(112) Рассмотрим, не берется ли У в несколько ином смысле, когда говорится, что AY есть В, т. е. «Некоторое А есть В», чем тогда, когда отрицается, что какое-либо А есть В, так что происходит не только отрицание того, что «Некоторое А есть В», т. е. что это неопределенное А естьВ, но также и того, что любое из неопределенных А есть В. Так что, когда говорится, что «Ни одно А не есть #», смысл этого в том, что отрицается, что AY есть В, ибо Y есть Y, т. е. любой Y содержит этот Y. Таким образом, когда я говорю: «Некоторое А есть В», я говорю, что это «некоторое А» есть В; если я отрицаю, что «Некоторое А есть В», т. е. что это «некоторое А» есть В, я, по-видимому, устанавливаю только частноотрицательное предложение. Но когда я отрицаю, что любое А есть В, т. е. что не только это, но и это, и это А есть В, тогда я отрицаю, что YA есть В. Отсюда, говоря, что мы отрицаем, что «Некоторое А есть J5», т. е. утверждая, что «Некоторое А не есть В», мы, по-видимому, не утверждаем, что «Ни одно А пс есть В»; аналогично утверждение, что «Всякое А не есть .В», по-видимому, не означает отрицания того, что «Всякое А есть В», но лишь утверждение о любом А, что оно не есть В. Тем не менее одним из основополагающих является положение, что отрицание общеутвердительного обязательно РСТЬ частноотрицательное. Таким образом, отрицание частноутвердительного не может быть частноотрицательнь»^

600

ибо отрицание частноутиердительышо и общеутвердительного не может быть одним и тем же. Остается, следовательно, что оно общеотрицательное, ибо оно не может быть ничем иным 33.

(113)Это удобно показать с помощью фигур. А есть В,

т.е. А совпадает с некоторым В, т. е. А совпадает с АВ.

А с

В

(114)Некоторое А есть В, т.е. некоторое А совпадает

снекоторым В.

А'

В

(115)Отсюда А — А. Вообще нужно представить горизонтальными параллельными линиями, из которых одна проведена под другой в целях их различения, а одна над другой.

(116)АВ = BY, где под У я по- '

(119)А = BY и В = AY есть то же, что и А = В.

(120)Отрицание предложения «Некоторое А есть B»t

т.е. отрицание того, что некоторое А совпадает с некоторым В, будет выражено так:

А

В

(121) По отрицание предложения «Всякое А есть В» будет выражено так 3 4 :

601

(122) Можно это рассматривать и по-другому, так что род не будет приниматься за часть вида, как мы это делали несколько раньше, на основании того, что понятие рода есть часть понятия вида (или по крайней мере включаемо в него), но, наоборот, вид будет частью рода на основании того, что индивидуумы вида суть часть индивидуумов рода (или по крайней мере включаемы в него).

(123) Итак, «Всякое А есть J?» будет представлено так:

Всякое А есть В.

Такое представление есть обращение предыдущего. Таким же образом представление частноотрицательного есть обращение предыдущего. Но частноутвердительное и общеотрицательное представляются таким же образом, как и раньше, поскольку не имеет никакого значения, что поставить перед или после, и, следовательно, в общей форме можно сказать, что первое представление отличается от второго по крайней мере тем, что линии в фигуре переставляются.

(124) Есть и другое представление предложений — с помощью чисел. Так, если ставить вместо терминов числа,, общеутвердительное «А есть В» будет означать, что А (или по крайней мере квадрат или куб этого А) может делиться на В. Ибо А и АВ рассматриваются здесь как тождественные.

(125) Частноутвердительное «Некоторое А есть В» означает, что А, умноженное на В, т. е. АВ, может делиться на В. При этом подразумевается, что АВ всегда может делиться на А, если только А не уничтожается

в АВ, например если А обозначает-=г и С не может делиться на В.

(126)Частноотрицательное: ложно, что А может дейиться на В, хотя возможно, что АВ может делиться на В.

(127)Общеотрицательное: ложно, что АВ может делиться на В; причиной этого является только то, что А

содержит д-.

Таким образом, собственно общеотрицательное имеется в случае, если А содержит ие-В. Отсюда логически следует, что общеотрицательное противоположно частно-

602

утвердительному, ведь если А делится на В, то не может быть, чтобы А умножалось на В зъ.

(128) Следовательно, мы имеем выражения: «А =< Е= АВ» есть общеутвердительное предложение; «АВ = Ьа АВ» есть частноутвердительное, ибо оно также ложно, если ложно частноутвердительное, потому что тогда А В является невозможным термином, поскольку А содержит ве-В. «А я= А пе-В» есть общеотрицательное. Отсюда следует, что частноутвердительное ложно, т. е. АВ есть невозможный термин или скорее ложный (ведь если это нельзя полностью доказать иначе, чем разложением до бесконечности, он ложен, а не невозможен). Наконец, частноотрицательное есть «А ве-В = А пе-В». И это я также вывел из наблюдения над числами. Таким образом мы совершенно исключили неопределенный Y. И это мы также узнали из чисел.

(129) С помощью чисел можно доказать все, соблюдая только, чтобы АА и А были равносильны и чтобы не допускалось -j-, ибо умножение представляет здесь комбина-

цию нонятий, но если какое-то понятие непосредственно добавляется к самому себе, например «человек человек», то это есть не что иное, как «человек». Деление же здесь представляет отрицание одного термина другим, разумеется, когда оно не может быть точным. Итак, когда А может быть точно разделено на В, т. е. когда А содержит В, тогда получается общеутвердительное предложение «А есть В». Когда А может точно делиться на пе-В, т. е.

на д-, т. е. когда А содержит дробь -д- (которая представляет пе-В), имеется общеотрицательное. Но когда А не делится точно на В, возникает частноотрицательное,

. 1

а когда А не делится точно на -&, возникает частноутвердительное. Так я раскрыл тайну, над которой безрезуль-

татно мучился несколько лет 3 6 .

(130) Истинное предложение есть то, которое может быть доказано. Ложное есть то, которое не есть истинное. Невозможное предложение есть то, в которое входит противоречивый термин. Возможное — то, которое не есть невозможное. Всякое ли общеотрицательное предложение невозможно? Представляется,что это именнотак, потомучто здесь имеются в виду понятия, а не существующие вещи. Так, если я говорю: «Ни один человек не есть животное»,

603

я подразумеваю не только существующих людей, но отсюда будет следовать, что отрицаемое о некотором индивидууме, например о Петре, необходимо отрицается о но\г. Следовательно, нужно отрицать, что всякое общеотрицательное предложение невозможно, а на возражение можно ответить, что «А содержит ве-В» доказывается либо путем демонстрации, т. е. полным разложением, либо только анализом, который может быть продолжен до бесконечности, т. е. всегда неполным. Таким образом, оно во всяком случае определенно, хотя и не необходимо, потому что оно никогда не может быть сведено к тождественному предложению либо противоположное ему не может быть сведено к противоречивому.

(130) Следовательно, истинно то, что может быть доказано, т. е. то, основание чему может быть приведено через разложение. Ложно то, что противоположно атому. Необходимое есть то, что разложением сводится к тождественному. Невозможное есть то, что разложением сводится к противоречивому. Ложным является термин или предложение, которые содержат противоположности, каким бы образом они ни доказывались. Невозможным является то, что содержит противоположное, доказываемое сведением к конечным. Следовательно, А — АВ, если доказательство осуществлено через конечное разложение, должно отличаться от А = АВ, если доказательство осуществлено через разложение до бесконечности. Отсюда возникает проблема необходимого, возможного, невозможного и случайного.

(131) Разложение бывает двух родов: либо понятий п уме, без участия опыта (за исключением рефлексивного опыта, касающегося того, что мы постигаем), либо восприятий, т. е. опытных данных. Первое не нуждается в доказательстве и не предполагает нового предложения, оно истинно в той мере, в какой истинно все то, что я воспринимаю ясно и отчетливо. Второе предполагает истинность опыта. Только Богу доступно разложение собственных понятий, которое целиком происходит в нем самом. Отсюда ему известны также и случайные истины, совершенное доказательство которых превосходит возможности всякого конечного интеллекта.

(132) Всякое истинное предложение может быть доказано, потому что предикат находится в субъекте, как говорит Аристотель, т. е. понятие предиката включается в совершенно осмысленное понятие субъекта, и всегда

604

есть возможность доказать его истинность разложением терминов на их значения, т. е. на те термины, которые они содержат.

(133)Истинное необходимое предложение может быть доказано сведением его к тождественным или противоположного ему — к противоречивым; отсюда противоположное ему называется невозможным.

(134)Истинное случайное предложение не может быть сведено к тождественным, однако оно доказывается ссылкой на то, что, если разложение продолжать все дальше и дальше, оно постоянно приближается к тождественным, но никогда не может их достигнуть. Поэтому один только Бог, охватывающий мыслью все бесконечное, может познать все случайные истицы в их полной определенности.

(135)Отсюда отличие необходимых истин от случайных аналогично различию пересекающихся линий и асимптот или соизмеримых и несоизмеримых чисел.

(136)Но здесь возникает трудность: мы можем доказать, что некая линия, а именно асимптота, постоянно приближается к другой и (так же как в случае асимптот) что два количества равны, показывая, что будет в случае бесконечно продолжаемой прогрессии. Так и люди будут

всостоянии охватить случайные истины с полной определенностью. Но следует сказать, что, хотя здесь и есть сходство, полного совпадения нет. И возможны отношения, которые, как бы далеко мы ни продолжали разложение, никогда не раскроют себя в той мере, в какой это необходимо для определенности знания, и могут быть постигнуты Совершенно только тем, чей интеллект бесконечен. Конечно, как об асимптотических линиях, так и о несоизмеримых числах и о случайных истинах мы можем многое уяснить с определенностью, исходя из того самого

принципа, что всякая истина должна быть доказуема; и отсюда если в предположениях все одинаково, то не может быть и никакого различия в заключениях и других вещах того же рода, которые истинны как для необходимых, так и для случайных предложений, поскольку они рефлексивны. Однако дать полное основание для случайных вещей мы так же не можем, как не можем беспрерывно следовать асимптотам и пробегать бесконечные ряды прогрессий чисел.

(137) Мы раскрыли многие весьма важные тайны, касающиеся анализа всех наших мыслей и нахождения и доказательства истин. Мы показали, каким образом все

605

истины могут быть выражены числами, как возникают случайные истины и почему они иногда обладают природой несоизмеримых чисел, каким образом абсолютные и гипотетические истины имеют одни и те же законы и охватываются одними и теми же общими теоремами, так что все силлогизмы становятся категорическими, наконец, каково происхождение абстрактных терминов, что будет полезно разъяснить более точно.

(138) Действительно, если предложение «А есть /?» рассматривать как термин (мы уже разъяснили, как это

следующее предложение: «то (А есть В) есть (либо содержит) то (С есть D)», т. е. «fi-ность А содержит С-ность D», т. е. «Л-ность А есть С-ность D».

(139)Вообще, если говорить, что нечто есть В, тогда само это «Нечто есть В» есть не что иное, как сама «5- ность»; так «то (Нечто есть животное)» есть не что иное, как «животность», тогда как «то (Человек есть животное)» есть «животность человека». Отсюда мы получаем как абстрактный термин, так и косвенный к нему.

(140)А через какую абстракцию будет выражено, что всякий человек есть животное? Через «животность всякого человека»? Что, во всяком случае, весьма отлично от «всякой животности человека». Ибо если иметь в виду, Что хотя бы какой-то человек — ученый, то термин «всякая ученость человека» истинен, но, если не всякий человек ученый, термин «ученость всякого человека» ложен. Если только кто-нибудь не понимает термин исключительно, как в свое время геометры, включавшие во «всякое движение» и то, скорость чего бесконечно мала, т. е. то, что покоится. По-видимому, «образованность всякого человека» можно было бы назвать «образованностью человечества». Но мне бы этого не хотелось, если мы настаиваем на вышесказанном, а именно что «человечность» кого-то есть не что иное, как то, что «кто-то есть человек».

(140)А поскольку из того, что «Некоторый человек есть ученый» следует, что «Некто ученый есть человек», нельзя ли будет сказать: «Ученость человека есть человечность ученого»? Полагаю, что можно.

(141)82 Каким образом мы выразим количество в абстрактных терминах, например когда А в два раза тепдее Вх т. е. когда тепло А есть двойное тепло 5? «А есть

606

теплое» есть «тепло самого А». Таким образом, если «to А есть теплое» будет относиться к «то В есть теплое», как 2 к 1, тепло А будет двойным теплом В. Но далее следует рассмотреть, каким образом «то А есть теплое» может относиться к «то В есть теплое», как одно число к другому. Это случается потому, что причина, которая единообразным действием делает А теплым, продолжением подобного же действия делает В теплым; или знак, по которому мы узнаём, что нечто является теплым, континуален и в одном случае в два раза больше, чем в другом. Но здесь необходима большая осторожность, поэтому термометры, указывающие степени тепла, не должны быть разделены равномерно.

(142) Но как в абстрактных терминах выразить отрицательные предложения, например «Некоторый человек не есть ученый»? Конечно, подобно тому как отрицание человека есть «не-человечность», так и отрицание учености человека есть «не-ученость человека». II если сказать: «Нд один человек не есть камень», его абстрактным термином, т. е. «то (Ни один человек не есть камень)» будет «не-камешюсть всякого человека». Но можно ли сказать «каменность ни одного человека», т. е. «каменяоеть не-человека»? Не думаю — ведь это не выражает тот факт, что нп один человек не есть камень.

(143) Следует рассмотреть еще и то, согласуется ли это учение с предикациями абстрактных терминов, и если «Некоторая зеленость есть цвет» есть правильная предикация, то почему? Не потому ли, что отсюда следует, что то, что является зеленым, обладает также цветом? Но посмотрим, нет ли примеров противоположного. Круг единообразен, и тот же круг плосок. Однако нельзя сказать, что единообразность есть плоскостность, потому что из единообразия не следует плоскостности. Но скажем ли мы, что единообразность круга есть плоскостность? Действительно, кажется, что из предложения «Круг единообразен» следует «Круг плосок». Но поистине оно из этого предложения следует не более, чем из любого другого о круге. Следовательно, предикация абстрактных терминов требует, по-видимому, не только логического вывода, но и еще чего-то кроме этого. Итак, поскольку «Всякий круг единообразен», т. е. если «А есть круг», то следует, что «^4 есть единообразно», можно ли на этом основания сказать, что «круговость» есть «единообразность»? Следовательно, с равным правом можно будет сказать, что

60?

«круговость» есть «плоскостность». И поэтому можно будет сказать: «Нечто, являющееся единообразным, ecu, плоскостность». Но здесь у меня возникают некоторые сомнения. Действительно, если «единообразность» есть то же самое, что и «то быть единообразным», а «плоскостность» — «то быть плоским», не является ли истинным, что иной раз «to А есть единообразное» есть «то А есть плоское». Отсюда можно будет сказать: «Единообразность в отношении к одному центру есть плоскостность», т. е. существование в плоском. И следовательно, подобно тому как в случае конкретных терминов бывают предикации через ограничение, например «Музыкант есть поэт», я не вижу, почему бы их не допустить и в абстрактных терминах: «Некоторая единообразность есть плоскостность». Так, мы будем правы, говоря, что единообразпость круга есть плоскостность, и поэтому сможем настаивать на общем правиле. Но каким образом мы объединим это в «круговости»? Может быть, на том основании, что мы говорим: «Круговость есть единообразность» и «Круговость есть плоскостность», мы будем вправе сказать: «Единообразиость есть круговость плоскостности»? И не оказывается ли, что смешиваются функции категорий, так что можно сказать: «Некоторое качество есть количество»? Да, есть количество, поскольку иногда из того, что нечто есть определенного рода, следует, что оно есть определенного размера. Ну и что же? Лишь бы нельзя было сказать, что всякое качество есть количество. Нужно рассмотреть в случае такого предложения в абстрактных терминах, следует ли необходимость в конкретных. Я не уверен, следует ли, даже если заключение истинно; ведь имеются случайные связи, всегда истинные, которые зависят от свободных действий.

(144) Предложения бывают или сущностные, или экзистенциальные; и те и другие либо второго, либо третьего присоединения. Сущностное предложение третьего присоединения, например: «Круг есть плоская фигура». Сущностное предложение второго присоединения, например: «Плоская фигура, одинаково относящаяся к какой-то одной точке, существует». Я говорю «существует», т. е. может быть мыслимо, что среди различных фигур есть какая-то, которая обладает указанной природой, подобно тому как если бы я сказал: «Плоская фигура, одинаково относящаяся к какой-то одной точке, есть сущее, или вещь». Экзистенциальное предложение третьего присоеди-

нения: «Всякий человек есть, т. е. существует, подверженный греху». Это, разумеется, есть экзистенциальное, т. е. случайное, предложение. Экзистенциальное предложение второго присоединения: «Человек, подверженный греху, есть, т. е. существует, т. е. есть действительно сущее».

(145)Из всякого предложения третьего присоединения может получиться предложение второго присоединения, если предикат и субъект составляются в один термин

ио нем говорится, что он есть, или существует, т. е. говорится, что это есть вещь, или каким-либо иным образом, или действительно существующая.

(146)Частноутвердительное предложение «Некоторое

Аесть В», трансформированное в предложение второго

присоединения, будет выглядеть так: «АВ существует», т. е. «АВ есть вещь» или возможная, или действительная

взависимости от того, сущностное ли предложение или экзистенциальное.

(147)Общеутвердительное предложение не столь легко (во всяком случае, таким же способом) трансформируется

впредложение второго присоединения, ибо из «Всякое А есть В» нельзя легко получить «Всякое АВ существует». Ведь поскольку АВ есть то же, что В А, с равным правом можно было бы сказать: «Всякое ВА существует» и поэтому так же «Всякое В есть Аь. Следовательно, нужно будет сказать так: «Всякое А, содержащее В, существует». А как можно другим способом свести общеутвердительное предложение к высказыванию второго присоединения, скоро станет ясным.

(148) Частноотрицательное предложение «Некоторое А не есть 5» будет трансформировано в предложение второго присоединения так: «А ве-В существует», т. е. А, которое не есть В, есть некая вещь, возможная или действительная в зависимости от того, сущностное ли это предложение или экзистенциальное.

(149)Общеотрицательное трансформируется в предложение второго присоединения через отрицание частноутвердительного. Так, например, «Ни одно А не есть В» — это то же, что «АВ не существует», т. е. «АВ не есть вещь». Можно было бы сказать и так: «Ни одно А не есть В»,

т.е. «Всякое А, содержащее не-i?, существует».

(150)Общеутвердительное трансформируется в предложение второго присоединения через отрицание частноотрицательного так: «Всякое А есть В» есть то же, что «1 пе-В не существует, т. е не есть вещь», или (как я ска-

вал в п. 147) «Л, содержащее В, есть вещь». Однако, как я уже сказал, хотя последнее истинно, оно менее удачно, потому что чрезмерно; ведь В уже содержится в А, но, если не всякое А есть В, из АВ возникает новая вещь.

(151) Следовательно, мы имеем предложения третьего присоединения, сведенные к предложениям второго присоединения так:

«Некоторое А есть В» дает «АВ есть вещь». «Некоторое А не есть В» дает «А ве-В есть вещь».

«Всякое А есть В» дает «А ие-В не есть вещь». «Ни одно А не есть В» дает «А В не есть вещь».

(152) И поскольку самим тождественным предложениям можно доверять только в случае реальных понятий, так что никакую истину нельзя утверждать без опасения столкнуться с противоположным, если не будет известна по крайней мере сущностная, если не экзистенциальная, реальность самих понятий, поэтому четыре вида категорических предложений можно будет выразить следующим образом.

Част ноу тверд ительное: АВ = АВ (т. е. АВ и АВ

совпадают, т. е. А В есть вещь).

Частноотрицательное: А ве-В = А ве-В (т. е. А ве-В

есть вещь).

Общеутвердительное: А ве-В не = А ве-В (т. е. А

не-В не есть вещь),

06щеотрщателъное\ АВ не = АВ (т. е. АВ не есть вещь).

(153)Но это предполагает, что отрицается всякое предложение, в которое входит термин, не являющийся вещью. Так что всякое предложение остается либо истинным, либо ложным, а ложным является всякое, которому недостает непротиворечивого субъекта, т. е. реального термина. Это, правда, несколько отклоняется от узуса языка в случав экзистенциальных предложений. Но у меня нет оснований беспокоиться об этом, потому что я ищу соответствующие знаки, а не стремлюсь применять к ним общепринятые имена.

(154)Ну а если кто-нибудь предпочитает употреблять

знаки таким, например, образом, что АВ существует = = АВ, является ли АВ вещью или нет, и что в том случае, когда АВ не есть вещь, В а ие-В могут совпадать, —• а именно через невозможное, — я не имею ничего против. Отсюда следует, что необходимо различать термин и

т. е. сущее.

610

(155) Итак, взвесив все, возможно, лучше будет сказать, что всегда, во всяком случае в символических обозначениях, можно положить, что А =* А, хотя, когда А не есть вещь, из этого ничего полезного нельзя заключить. Таким образом, если АВ есть вещь, отсюда может быть получено YA — ЪВ. Ибо из этого может быть выведено

вещи). Следовательно, YAB — Ъ (R). Следовательно, АВ = ((/?)).

(156) А = А. А не =не-Л. АА = Л .

(157)«А = В» есть общеутвердительное взаимообратимое предложение, являющееся простейшим. Оно совпадает с те-А = не-.б», и в случае отрицания можно будет сказать: «А не = В».

(158)«D = ZC» есть общеутвердительное.

(159)«YA s= ZC» есть частноутвердительное.

(160)«D — яе-Е» есть общеотрицательное,

(161)«ХЕ — не-/1» есть частноотрицательное 3 8 .

(162) Остаются термины, в которые входят «ue-YA», т. е. «не такое А» (т. е. «некоторое ве-А»), отличающиеся от «не-некоторых». Действительно, одно говорит, что ложно, что «Некоторое А есть В», а другое говорит, что ложно, что «Такое-то А есть В». А так как отсюда возникает некая двусмысленность, лучше будет вообще исключить букву Y, и отсюда появятся такого рода предложения.

(163)«А — В», а также «ве-А == ие-В» суть простейшие предложения.

(164)«А = АВ» есть общеутвердительное.

(165)«АВ = АВ» при допущении, что АВ есть вещь, есть частноутвердительное, т. е. YА = ZB.

(166)«А = А ие-В» есть общеотрицательное.

(167)«А ве-В = А ве-В» при допущении, что А ве-В есть вещь, есть частноотрицательное.

(168)Если «А не = В», тогда или А ве-В будет вещь, или В ве-А будет вещь.

(169)«АВ есть вещь» равносильно «Некоторое А есть В» и «Некоторое В есть А».

«АВ есть не вещь» равносильно общеотрицательному «Ни одно А не есть В» или «Ни одно В не есть А»

(170)Между тем, однако, нужно отличать предложение «Некоторое А есть В» от предложения «Некоторое В есть Л» и подобным же образом «Ни одно А не есть В» от предложения «Ни одно В не есть А».

(171)Наши принципы таковы.

Во-первых: А = А. Во-вторых: не-А = не-А, В-третьих: А А = А.

В-четвертых: «не-не» = опущению «не», например неие А = А.

В-пятых} если А = В, то АС = ВС В-шестых: если А — В, то не-Л = не-Z?.

В-седьмых: если Л = В, то Л не = ые В. В-восьмых: А не-А не есть вещь.

(172)Если А = В, то АВ = 5. Ибо /1 = 5, по предположению, следовательно, ЛлЗ == ВВ, по 5-му принципу, т. е., по 3-му принципу, АВ = В.

(173)Если А = ЯС, то АВ = £С. Ибо Л = ВС, по предположению, следовательно, АВ — ВВС, по 5-му

в= В, по предположению, тогда не-не-А = ие-#, по 6-му принципу. Но не-не Л = А, по 4-му принципу. Следова-

(178)Если Л = YC, ZA т VC, ибо А = ГС, по предположению. Следовательно, ZA = ZFC; пусть ZY = F, тогда ZA ш> FC.

(179)Если Л = УС, то FC = £Л. Ясно из предыду-

щего.

(180)Если A es не-ЛС, то Л = не-С (разул1еется, если

Лесть вещь). Это должно быть тщательно доказано.

(181) Не-ЛС == Y не-С (==Z не-Л). ) Это (182) Если FHe-C = Z не-Л, то это = не-Л С. /следует (183) Ие-Л ве-С » Y ие-АС. J доказать.

(184) Всякое предложение в обычной речи сводится к тому, что говорится, какой термин в каком содержится, а также рассматривается количество *° содержащего термина или абсолютно, или с добавлением и говорится, что содержит абсолютное содержание.

(185)«Не всякий», «не некоторый», собственно, не должны встречаться в предложении, ибо они только отрицают предложения, отмеченные знаком «всякий» или «некоторый», и не создают новый знак «не-всякий», «неиекоторый». Так, если я предпосылаю «нет» тому, что «Некоторый человек есть животное», это будет тождественным тому, что ложно, что «Некоторый человек есть животное».

(186)«Некоторый человек не есть камень» означает: «Некоторый человек есть не-камень». Аналогично «Всякий человек не есть камень», по-видимому, означает «Всякий человек есть не-камень». Таким образом, вообще мы будем трактовать не перед есть как отрицательный предикат. Но если то не ставится перед знаком количества, мы будем понимать, что отрицается предложение.

(187)Выше я уже указывал, что все касающееся предложения может рассматриваться именно так и как бы сводиться к числам, так что мы можем мыслить термин, т. е.

понятие, в виде дроби 41, например ab не-Z не-те = Н, что означает, что Н содержит а и Ъ, но то же Н содержит пе-1 и не-m. При этом должно соблюдаться правило, чтобы аа было тем же, что и а, и не-а не-а — тем же, что не-а; чтобы не-не-а было тем же, что а, и чтобы один и тот же термин никогда не содержал в одно и то же время а и не-а, т. е. чтобы о термине, который содержит а, не говорилось, что он содержит не-а, или наоборот; наконец, чтобы тот, который содержит аЪ, содержал также а и аот, который содержит не-а, содержал также не-а/.

(188) 42

(189) Таким образом, принципы будут следующие. Во-первых: аа = а (откуда ясно, что и не-6 = не-Ь,

если принять, что не-b = а). Во-вторых: не-не-а = а.

В-третьих: один и тот же термин не содержит а и не-а, т. е., если одно истинно, другое — ложно, либо, по крайней мере, сам такой термин называется не истинным, а ложным.

В-четвертых: «А содержит I» есть то же, «А есть

(=) xl».

613

В-пятых: не-а содержит не-ab, т. е., если I содержит а, не а будет содержать не-/.

В-шестых: все, что говорится о термине, содержащем термин, может быть сказано о предложении, из которого следует другое предложение.

В-седьмых: все, что не может быть доказано из этих

то же, что «А, взятое с каким-нибудь добавлением, содержит L». Например, АВ содержит L при допущении,

«сть то же, что «Л содержит L», т. е. AL — AL, разумеется, при допущении, что AL есть вещь, т. е. истинный термин, который не включает противоположности, такие, как X и т-Х.

Общеотрицательное'. «Всякое А есть не-2?», т. е. А содержит по-В, т. е. А = X ие-В.

Частноотрицательноег «Некоторое А есть не-L», т. е. АХ содержит не-L, т. е. АХ — Z не-L, т. е. и А не-L содержит не-L, т. е. А не-L = А не-L, полагая, что А Re Z есть истинный термин, который не включает противоположности.

(191) Если истинно общеутвердительное, истинно и

ципу. Следовательно, ZA an ZXB (по природе совпадающих). И пусть ZX = V (произвольно), тогда ZA =а

=VB.

(192)В случае истинных терминов общеутвердительвое предложение и частноотрицательное не могут быть

одновременно истинными. Ибо пусть А — XL и VA => = Z не-L, тогда будем иметь A VA, т. е. VA = AZ не-L =а

=XLZ не-L, а этот термин ложный.

(193)Эти же предложения не могут быть одновременно

(194) Ложный термин — это тот, который содержит противоположные термины А не-Л. Истинный термин не ложен.

614

(195) Предложение есть то, что утверждает, какой термин содержится или не содержится в другом. Отсюда предложение может также утверждать, что некоторый термин ложный, если говорит, что в нем содержится У не-У, и истинный, если отрицает это. Предложение есть также и то, что говорит, совпадает ли что-то с чем-то или не совпадает, так как то, что совпадает, взаимно содержится одно в другом.

(196)Предложение, которое содержит противоположности, как * и не-*, ложно.

(197)Само предложение может мыслиться как термин. Так, «Некоторое А есть В», т. е. «АВ есть истинный термин», есть термин, а именно «АВ истинно». Так же «Всякое А есть В», т. е. «А не-5 есть ложно», т. е. ««А ше-В ложно» есть истинный термин». Так же «Ни одно А

не есть В», т. е. «АВ есть ложно», т. е. ««Л5 ложно» есть истинный термин» 43.

(198)Принципы. 1-й: совпадающие могут быть под-

ставлены друг вместо друга. 2-й: А А = А. 3-й: не-не-Л » = А. 4-й: термин, содержащий Л не-Л, ложен, т. е. неистинен; тот истинен, который не содержит этого. 5-й: предложение есть то, что добавляет к термину, что он истинен или ложен, например если Л — термин и ему приписывается, что Л истинно или Л неистинно, то обычно говорится просто «Л существует», «Л не существует». 6-й: добавление «истинно», т. е. «топ существует», оставляет все таким, как оно есть, добавление «ложно», т. е. «тоб не существует», превращает в противоположное. Таким образом, если говорится, что нечто истинное либо ложное есть истинное, оно остается истинным либо ложным; если же говорится, что нечто истинное либо ложное есть ложное, оно из истинного становится ложным, из ложного — истинным. 7-й: предложение само становится термином, если к термину добавить «истинное» либо «ложное». Например, пусть Л — термин и «Л существует» или «Л есть истинное» — предложение; тогда «Л истинное £, т. е. «то истинное Л», т. е. «то существующее Л», будет новый термин, из которого в свою очередь может возникнуть предложение. 8-й: предложение, следующее из предложения, есть не что иное, как консеквент, содержащийся в антецеденте, как термин в термине, и таким методом мы сводим выводы к предложениям и предложения к терминам. 9-й: «Л содержит Ы есть то же, что А = = xl «*.

(199) Частноутвердителъное предложение: «Л В существует». Частноотрицательное: «Л не-В существует».

Общеутеердителъное: «А не-В не существует» при допущении, что А а В существуют. Общеотрицательное: «АВ не существует». Отсюда сразу же ясно, что их не бывает больше и что есть их противоположности и обращения. Ибо противополагаются частпоутвердительное и общеотрицательное, а также частноотрицательное и общеутвердительное. Ясно также, что в предложении «А В существует» или «А В не существует» оба термина ведут себя одинаково и поэтому имеет место простое обращение. Можно было бы добавить «не-Л не-В существует» или «не-Л пе-В не существует», но это ничем не отличается от «LM существует» или «LM не существует», если принять, что не-Л есть L и не-В есть М. Общеутверднтельное, т. е. «А ае~В не существует», есть то же, что и «А содержит В». Ибо то, что «А не содержит В», есть то же, что «А не-В истинно». Следовательно, «А содержит В» есть то же, что «А не-В неистинно».

(200)45 Если я скажу: «АВ не существует» — это то же, как если бы я сказал: «А содержит не-В» либо «И содержит ае-А», т. е. А и В суть несовместимые. Аналогично, если я скажу: «А ве-В не существует», — это то же, как если бы я сказал: «А содержит не-не-В», т. е. «Л содержит В», и аналогично «не-В содержит не-Л». Следовательно, в этих немногих предложениях содержатся основания формы.

(3)Л ооЛ.

(4)Л не оо В (не-Л).

(5)Л сю (не-(не-Л)).

(6)АА ооЛ.

(7)АВ оо ВА.

я доказываю следующим образом. Если оно не следуем, то пусть Л оо не-В (по допущению противоположного). Следовательно (по предположению), В оо не-В, что абсурдно. То же самое доказывается и так: В не оо не-В (по п. 4), следовательно, и Л не оо не-В.

(12)Совпадают: «Л оо АВ» и «не-В оо не-В не-Л».

(13)Если А оо YB, то следует, что Л оо АВ. Это я доказываю так: Л оо YB (по предположению). Следовательно, АВ оо YBB (по п. 10) оо YB (по п. 6) оо Л (по предположению).

Общеутвердительное может быть выражено так: А ос

ооАВ или Л оо YB

Лоо У не-В. Т.е. А оо А не-В, т. е. АВ есть не-сущее. Частноотрицательное, «Некоторое Л не есть В», так:

Ане оо АВ, или Л не-В есть сущее.

Но посмотрим, достаточно ли одного этого:

щению противоположного). Поскольку же А оо А В (по предположению), получится А т-В оо АВ, что абсурдно, по п. 4. Или короче такз А ие-В не оо АВ (по п. 4), где, подставив А вместо АВ (ибо они эквивалентны, по предположению), получим А ве-В не оо Л. Что и требовалось доказать.

Если Л оо Л яе-В, следовательно, Л не оо АВ. Т. е. из общ. отриц. следует части, отриц.

Доказательство: Л не-В не оо АВ (по п. 4). Подставим Л вместо Л не-В (ибо они эквивалентны, по предположению) и получим Л не оо АВ.

Равнозначны; «Л не оо Л не-В» и «5 не оо В не-Л», (г. е. частноутвердительное может быть обращено просто.

Доказательство; из «Л не оо Л ие-В» следует (по п. 9) «В не оо В не-Л». Следовательно, в свою очередь обязательно и Л оо Л яе-В совпадает с В оо В не-Л (по п. 9). Следовательно, совпадают и противоречащие иад. Что и требовалось доказать.

Посмотрим, нельзя ли вывести «В оо В не-Л» из «Л оо

ооЛ не-В» иным путем. Если Л оо Л не-В, следовательно,

АВ оо АВ не-В. Следовательно, АВ есть не-сущее. Но

если из «А В есть не-сущее» мы выводим «Л оо Л яе-В», то с равным правом мы можем вывести и взаимообратное этому — «В оо В не-Л».

А можно и так, не прибегая к подстановке: пусть А В — сущее, следовательно, Л не оо Л не-В, потому что если бы было Л оо Л не-В, то было бы АВ оо АВ яе-В, и поэтому АВ было бы не-сущим вопреки предположению. И с равным правом В не оо В не-Л. Когда говорится, что АВ есть сущее либо не-сущее, подразумевается, что Л и В могут быть замещены сущими. Посмотрим, нельзя ли показать обратное: если Л не оо Л яе-В, следовательно, А В есть сущее, разумеется, при допущении, что Л и В суть сущие. Действительно, если, при допущении, что А а В суть сущие, АВ окажется не-сущим, то, следовательно, одно из них — Л или В — должно содержать противоречащее тому, что содержит второе. Предположим, стало быть, что Л включает С и В включает яе-С (откуда в свою очередь следует, что В включает D и А

включает яе-D, если предположить, что D оо яе-С). Пусть, следовательно, Л оо ЕС и В оо F яе-С. Теперь ЕС оо ЕС ne-(F (пе-С)), или ЕС содержит He-(F не-С) (т. е. все, что включает С, включает отрицание того, что отрицает С). Т.е. Л оо Л яе-В вопреки предположению. Следовательно, равнозначны, т. е. взаимно следуют друг из друга: «АВ есть сущее», «Л не оо Л яе-В» и «В пе оо В не-Л». Подобным же образом равнозначны: «АВ есть несущее», «Л оо Л яе-В», «В оо В не-Л».

Таким образом мы находим ключ, позволяющий нам прибегнуть к сведению сложных к несложным.

Мы изложили этот вопрос лучше на следующем листе, от 2 августа 1690 г.2

Не-(ЛВ) есть в яе-В, т. е. не-5 оо яе-В (ве-АВ). Если Л оо ВС, является лп Л : С оо В3, если иметь

в виду, что С должно быть отнято от Л? Сведением к простым, пусть В оо СЕ, получается Л оо СЕС, т. е. Л оо СЕ, следовательно, Л : С не всегда оо В. Таким образом, это получается только в случае простых [терминов].

Во всех случаях, когда есть общий [термин] ЕВ, так что Е мыслится каким угодно, может быть подставлено В, ибо, принимая Е вместо В, получим ЕВ оо ВВ оо В.

Если не-Л5 не оо Л ве-В, то яе-АВ оо В не-Л. И наоборот, т. е. «не-Л.В не оо Л не-.В» и «не-Л.В оо В не-Л» равнозначны.