Классики / Новая / Лейбниц / Сочинения. Т. 3

человеческого будет все более зримым плод столь же единого искусства.

Между тем будем стремиться к тому, чтобы, насколько это в наших силах, всегда быть способными продвигаться вперед определенным порядком, и — что до сих пор почтя не делалось, — извлекая из данных все, что может быть из них получено, пользоваться и наслаждаться уже открытыми кладами и божественными дарами для здоровья и совершелствования духа4 насколько нам зто определено судьбой.

ОСНОВЫ ИСЧИСЛЕНИЯ РАССУЖДЕНИЙ

Всякое человеческое рассуждение совершенствуется применением некоторого рода знаков, или характеров. Ибо не только сами вещи, но даже и идеи вещей нельзя,; да и нет нужды постоянно отчетливо обозревать умом, а поэтому, ради краткости, для их выражения употребляются знаки. Ведь если бы геометр всякий раз, когда он называет в процессе доказательства гиперболу, спираль или квадратрису, вынужден был точно воспроизводить себе их определения или построения, а также определения входящих в них терминов, он чрезвычайно медленно приходил бы к новым открытиям. Если бы арифметик в процессе вычисления всех знаков или цифр, которые он пишет, постоянно мыслил бы их валёры (valores) 1 и множество единиц, он никогда бы не завершил длинных подсчетов, точно так же как если бы он пожелал считать с помощью такого же количества камешков. И любой юрист, когда он упоминает об акциях (actiones), или исключениях, или правовых привилегиях, не может всякий раз пробегать мыслью все существенные, нередко весьма обширные сведения, касающиеся этих вещей,, да в этом и нет нужды. Поэтому делают так, что юридическим актам (contractus), фигурам и различным видам вещей ставятся в соответствие имена, а числам в арифметике и величинам в алгебре — знаки, чтобы если однажды опытным путем или размышлением устанавливалось бы нечто относительно вещей, то соответствующие знаки в дальнейшем всегда надежно связывались бы со знаками этих вещей. К числу же знаков я отношу слова, буквы, химические фигуры (figurae chemicae), знаки астрономические, знаки китайского письма, иероглифические,, музыкальные ноты, стенографические, арифметические,; алгебраические и все другие, которыми мы пользуемся в процессе рассуждения вместо вещей. Написанные же„ начертанные или же высеченные знаки называются характерами (characteres). Далее, знаки будут тем полезнее, чем более адекватно они выражают понятие обозначаемого предмета^ так что они могут служить не только

целям репрезентации, но и целям рассуждения. Ничегоподобного не обнаруживают характеры, употребляемые химиками и астрономами, если не считать того, что некоторые из них вместе с Иоанном Деем Лондонским, автором «Иероглифической монады» 2, надеются разглядеть в них неизвестно какие тайны. И я не думаю, что фигуры китайцев или египтян могут много дать открытию истин. Язык Адама шх конечно, внутренний смысл его, который некоторые силятся постичь, надеясь в именах^ данных Адамом, узреть сущности вещей, нам совершенно неизвестен. Обыденный язык, хотя он и мог бы весьма способствовать рассуждению, полон, однако, бесчисленных синонимов (aequivocationes) и поэтому не может служить делу исчисления, даже если бы были вскрыты ошибки рассуждения, относящиеся к самой формации и конструкции слов, такие, как солецизмы и варваризмы. Таким поистине замечательным достоинством до сих пор обладают только знаки арифметиков и алгебраистов, у которых всякое рассужденио состоит в использовании характеров и ошибка ума есть то же самое, что ошибка счета,

Мне же, беспокойному, уже давно со всей очевидностью представилось и нечто более важное, а именно что все человеческие мысли вполне разрешаются на немногие^ как бы первичные; что если бы этим последним были поставлены в соответствие характеры, то из них могли бы образовываться характеры производных понятий, из которых всегда могли бы извлекаться все их реквизиты и входящие в них первичные понятия и то, что я называю определениями или значениями (valores), а равным образом и следствия (affectiones), доказуемые из этих определений. Если бы все это было осуществлено, то каждый,, кто пользовался бы в процессе рассуждения и писания такого рода характерами, либо никогда не ошибался бы,, либо сам не хуже других с помощью несложных выкладок обнаруживал бы свои ошибки; к тому же он приходил бы к открытию истины, поскольку она следует из данных, а если данных для нахождепия искомого оказалось бы недостаточно, по крайней мере видел бы, какие еще нужны опыты или знания, чтобы он мог наконец прийти к истине, насколько это осуществимо на основе данных, или способом приближения, или же способом определения степени большей вероятности; софизмы же и паралогизмы ничем бы тогда не отличались от ошибок счета в арифметике и солецизмов и варваризмов в языке.

Поскольку же на этом характеристическом искусстве, пдею которого я постиг своим умом, основывается Истинный Органон Всеобщей Науки, касающийся всего, что подвластно человеческому рассуждению, но имеющий вид ьечно очевидных доказательств исчисления, постольку есть необходимость, чтобы сама наша характеристика, или искусство пользования знаками для некоторого рода точного исчисления, представлялась как наиболее общая. Но так как еще нельзя установить, каким именно способом должны формироваться знаки, то пока вместо тех знаков, которые должны быть созданы в будущем, по примеру математиков будем пользоваться буквами алфавита и любыми другими произвольными знаками (notae), которые в изобилии будет поставлять прогресс [науки]. Этим способом прояснится также связь характеристически трактуемых наук, и само дело покажет, что элементарная арифметика более первична и проста, чем элементы логического исчисления, трактующего фигуры и модусы 3.

Пусть характером будет какое-либо А, или В% или некоторый другой знак.

Композиция из многих характеров называется формулой.

Если некоторая формула эквивалентна характеру, так что их можно подставлять на место друг друга^ такая формула называется валёром характера.

Первичный валёр характера, т. е. такой, который ставится в соответствие характеру по произволу и не нуждается в обосновании, есть его значение (significatio).

Характеры, каждый из которых может быть подставлен на место другого с сохранением законов исчисления! находятся в отношении эквиполентности.

Кроме эквиполентности имеются многие другие отношения, которые выявятся по ходу дела, такие, например, как включенияг подобия, детерминации о которых будет сказано в своем месте. И точно так же существуют отношения для характеров и формул, как существуют высказывания для понятий! или вторичные операции ума для первичных.

ствует, что формулы (под которыми, если считать их простейшими формулами, можно понимать сами характеры),, отношения и операции ведут себя как понятия, высказывания и силлогизмы. Имеются и составные отношения (relationes compositae), которые предполагают определенные операции.

О характере говорят, что он входит в формулу, если он полагается в ней явно; говорят также, что он входит

вдругой характер, если он полагается явно в значении последнего. А что характер входит неявно (involvi), говорят, когда он может реализоваться только с помощью подстановки эквиполентных и тогда только входит [в формулу].

Характеры входят в формулу или абсолютно, т. е. просто (simpliciter), или же под определенной модификацией, т. е. своим отношением к другому характеру. Например, если формулой будет А. (В). С, то А и С входят

внее прямо, тогда как В — косвенно, под А. Может даже случиться, что все характеры входят в формулу под моди-

фикацией, как если бы мы имели А. В. С. L. M. N, где А. В. С, определенным образом связанные друг с другом, лишь вместе составляют прямой характер, слитый или составленный из них, и то же самое происходит с L. М. N. Так что если абсолютно полагаемый характер выражается иначе, чем через модифицированные (modificati), то он называется прямым (rectus), модифицированный же называется косвенным (obliquus). Одни характеры входят в формулу так, что не могут быть отделены друг от друга; другие — иным образом. Содержащее, или агрегат, есть однообразная композиция (compositum uniforme), т. е. формула, которая не делится ни на какие другие формулы, если не считать деления по произволу. Сюда относятся такие композиции, как А. В или А. В. С. Любая композиция бывает или равнообразной (aequifor-

mis), или разнообразной (disquiformis). Она равнообразна,

как в случае А. В, или А. В. С. D, или А.В. CD. E.F,

когда те ингредиенты, которые связываются одной и той же связью, всегда вступают в связь одинаковым образом. При этом опять-таки важно, связываются ли А и В своей связью таким же способом, каким С и D связываются своей, и тем ли способом связываются А и В, каким А. В и С. D. Если же два ингредиента вступают в одну связь разнообразно, как в случае А (— В, и один из них — А

происходит при умножении. Так, если имеем аЪ и подразумевается, что а означает 2, а Ъ означает 3, то можно считать, что аЪ есть 2Ъ, и поэтому Ъ абсолютно, тогда как а есть число, на которое умножается Ъ. С другой стороны, возможно и обратное: и а может быть взято за абсолютвое, модификацией которого было бы 3, так что а понималось бы как утроенное.

Иногда и часть формулы сама является формулой и может выступать самостоятельно, иногда же нет.

VI

ЭЛЕМЕНТЫ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Правило построения характеров следующее: всякому термину (т. е. субъекту или предикату предложения) приписывается какое-нибудь число при соблюдении одного условия — чтобы термину, составленному из ка- ких-либо других терминов, соответствовало число, образованное из чисел этих терминов, умноженных друг на друга. Например, если представить, что термин «животное» выражается через число 2 (или, в более общем виде, а), термин «разумное» — через число 3 (или, в более общем виде, г), то термин «человек» будет выражен через число 2-3, т. е. 6, образованное из умноженных друг на друга 2 и 3 (либо, в более общем виде, числом аг).

Правила применения характеров в категорических предложениях следующие.

Если общеутвердителъное предложение истинно, то необходимо, чтобы число субъекта могло делиться точно, <г. е. без остатка, на число предиката.

U.A. -р Делению] удовлетворяет, т. sе. число S может точно делиться на число Р. Или если -р- выразить через

дробь (числитель которой, например 6, был бы S — числом субъекта, например «человека», знаменатель же Р — числом предиката, например «животного»), то эта дробь

должна равняться целому, как -~ есть 2.

О

Если частноутвердителъное предложение истинно, достаточно, чтобы или число предиката могло делиться точно на число субъекта, или число субъекта — на число предиката.

Р.А. Или р-, или-j [делению] удовлетворяет.

Если общеотрицателъное предложение истинно, необходимо^ чтобы ни число субъекта не могло делиться точно

506

на число предиката, ни число предиката — на число субъекта.

U.N. Ни р-, ни -я- [делению] не удовлетворяют.

Если частноотрицателъное предложение истинно, необходимо, чтобы число субъекта не могло делиться точно на число предиката.

P.N. р- [делению] не удовлетворяет.

Эти четыре правила, или определения, истинных категорических предложений (а также и ложных, ибо те предложения, которые не являются истинными, ложны), различающихся по количеству (или знакам) и качеству (т. е. утверждению или отрицанию), достаточны для того, чтобы сразу понять всю обычную логику, поскольку она трактует о форме предложений и категорических силлогизмов, так что в результате можно сразу же понять подчинения, противопоставления, обращения предложений и фигуры и правильные модусы силлогизмов. Ибо предложения будут сразу же рассматриваться в числах — как те, из которых делается заключение, так и те, которые. выводятся из других.

Более того, я покажу нечто значительное: как посредством исчисления моментально могут быть доказаны все формы категорической логики, даже если предположить, что еще не даны нужные числа отдельных терминов и понятий. Ведь подобно тому как в буквенной алгебре мы производим вычисления с числами вообще, выраженными буквами, которые обозначают любые специальные числа, известные или неизвестные, так и здесь, применяя буквенные обозначения вместо этих чисел, мы докажем замечательные теоремы науки логики. Таким образом, преимущества этого нашего замечательного открытия столь велики, что одно только намерение и желание (примепить его) даст новый свет разуму и невиданно обогатит науку 1 .

Имеет смысл в нескольких словах привести пример столь великого открытия. Итак, если нам дано какое-то категорическое предложение, мы выразим числа субъекта и предиката какой-нибудь буквой, например если дано предложение «Человек есть животное», мы можем выразить число субъекта буквой Н, а предиката — буквой А 2. Выразим отношение этих двух чисел Н, А в простых числах, например если число Н будет 6 и А будет 2,

607

отношение Н к А в простых числах будет 3 к 1, соответственно отношение А к Н в простых числах будет 1 к д. Или если число Н будет 15 и число А будет 6, отношение // к А в простых числах будет 5 к 2, а отношение А к II в простых числах — 2 к 5. Вообще предположим, что эти простые числа суть v, г, так что Н будет относиться к А,

как rnv3. Отсюда будет -г равн. — и -?= равн. —, или г А

равн. vH. Попутно следует заметить, что простые числа, выражающие отношение чисел субъекта и предиката, суть числа тех терминов, которые остаются в субъекте и предикате после отнятия общих тому и другому терминов. Из этого следует, что, если деление числа // (субъекта) на число А (предиката) осуществляется точно, т. е.

если дробь -J-, сведенная к простым числам, т. е.— (напр.,

о

-г), есть целое число, необходимо, чтобы ее знаменатель v был 1, т. е. единицей. Наоборот, если деление не осуществляется точно, т. е. если дробь, выраженная в про-

стых числах --(напр.,у), не есть целое число, необходимо, чтобы знаменатель v (здесь 2) был не единицей, а числом, большим единицы. То же самое и в делении предиката на субъект, нужно только обратить дробь, потому что, если число А (предиката) может долиться точно на число Н

(субъекта), тогда дробь =, выраженная в простых тер-

минах, т. е. —, будет иметь знаменатель г, равный единице;

если же деление А на Н не осуществляется точно, дробь —

будет иметь знаменатель г, больший, чем единица. То же самое происходит, если числа, соответствующие терминам предложения, суть Н, В и числа, выражающие простейшим образом их отношение, суть г, у.

Таким образом, поскольку истинность, качество и количество любых категорических предложений могут быть постигнуты с помощью одних только точных илв неточных делений чисел, выражающих термины, из ранее установленных правил следует, что это сведение отношения двух чисел, выражающих термины предложения, к минимальным терминам, всегда достаточно для установления равенств, соответствующих предложениям. Ибо в зависимости от того, может или не может осущест-

виться деление каким-то определенным образом, данное количественное или качественное предложение является истинным или ложным, и, наоборот, если данное количественное или качественное предложение истинно или ложно, указанное деление может соответственно быть осуществлено или не осуществлено.

В результате возникает следующая таблица предложений и соответствующих равенств.

Из этой таблицы интуитивно сразу становится ясным, что общеотрицательное и частноутвердительное предложения противополагаются как противоречащие друг другу, так как всякое число (я все время говорю о целых числах), указанное в условиях этих предложений, либо является единицей, либо больше единицы, но не одновременно и то и другое, и не одновременно ни то ни другое. Таким образом, одно из предложений, которые, как мы сказали, противоположны друг другу, будет истинным, другое — ложным.

Точно так же интуитивно ясно, что из общего [предложения] следует частное при сохранении терминов и качества, т. е. при тех же терминах и том же их расположении из общеутвердительного следует частноутвердительное, из общеотрицательного — частноотрицательное. Ибо из общеутвердительного следует частноутвердительное, так как если число субъекта, т. е. множитель термина, есть единица (как требуется в равенстве, относящемся к U. А.), то во всяком случае число, т. е. множитель одного из двух терминов, есть единица (что является

единственным требованием в равенстве, относящемся к Р. А.). И из общеотрицательного следует частноотрицательное, потому что, если и то и другое число, т. е. множители какого-нибудь термина, больше единицы (как требуется в равенстве, относящемся к U. N.), во всяком случае число, т. е. множитель одного из терминов, а именно субъекта, будет больше единицы (что единственно и требуется в равенстве, относящемся к P. N.).

И вот что становится совершенно ясным: U. N. и Р. N. могут обращаться просто, ибо при их условиях требуется только, чтобы тот или другой множитель, т. е. коэффициент, был единицей или чтобы оба были больше единицы, а поэтому ни один термин предложения преимущественно не выделяется, и, таким образом, пе имеет значения, какой из них является субъектом или предикатом, лишь бы сохранялось качество и количество.

Но чтобы показать на буквах то, что выражено словами, таблицу следует построить несколько иначе, а именно так, чтобы по самим буквам можно было судить, являются ли они больше единицы или равны ей, насколько, разумеется, об этом можно судить по форме. С этой целью мы отбросим числа, которые очевидно равны единице, потому что единица не умножает, числа, которые *...

Но чтобы продемонстрировать с помощью буквенного исчисления то, что мы показали с помощью слов, таблицу следует построить несколько иначе и сами буквы должны различаться так, чтобы из них самих было ясно, являются ли они необходимо большими, чем единица, или необходимо равны ей, или по крайней мере то больше, то равны ей.

С этой целью будут применены следующие наблюдения или каноны.

I. Заглавная буква обозначает' какое-нибудь число, соответствующее термину (т. е. субъекту или предикату какого-нибудь предложения, которому оно приписано или должно быть приписано).

II. Строчная буква обозначает какое-нибудь число, множитель числа заглавной буквы, которое для полноты равенства должно возникнуть из предложения, и это число мы можем назвать коэффициентом. Поскольку в предложении иногда один термин содержит другой, то и число одного [термина] содержит число другого, как делимое — делитель, и поэтому, чтобы стать равным делимому, делитель должен быть умножен на частное. А если деление

не удается, т. е. если ни один не содержит другой, т. е. если термины раздельные, тогда каждое из чисел должно быть умножено на какое-нибудь другое, каждое на свое, для того чтобы стать равными. Множители же должны быть таковы, чтобы простейшим образом выражать взаимное отношение умноженных чисел; а умножение должно осуществляться перекрестно. А что простые числа должны применяться, как и в том случае, когда имеется отношение единицы к целому числу, то это вполне ясно и понятно из сказанного выше.

III. Латинская строчная буква обозначает такое число, что формально безразлично, равно ли оно единице или числу, большему, чем единица. Например, в общеутвердительном предложении безразлично, уже ли предикат субъекта или равен ему, лишь бы он в нем содержался, т. е. лишь бы он не был больше субъекта. Поэтому числом, на которое должно быть умножено число предиката, чтобы получилось число субъекта, будет либо единица, когда субъект и предикат взаимообратимы или равны по объему, либо число, большее единицы, когда предикат уже субъекта. Для общей же формы общеутвердительного предложения безразлично, какое из этих двух чисел следует употребить. Поэтому вместо предложения «Всякое Н есть А» мы можем употребить следующее равенство: Н равн. г А; поясню на примере: понятие «человек» совпадает одновременно с понятием «разумный» и с понятием «животное», т. е. число «человека» получается из умножения числа «животного» на число «разумного». И в этом случае г есть число, большее, чем единица, но в других случаях оно может быть равно ей. Например, «Всякое Т есть 0», т. е. Т равн. v®. Всякий треугольник имеет три стороны; так как понятие треугольника равнообъемно понятию трехсторонней фигуры, т. е. они коэкстенсивны, то, следовательно, и числа, их выражающие, будут равны. Поэтому v, на которое должно быть умножено 6, чтобы равняться Т, которому оно уже равно, есть единица. Следовательно, в силу общей формы, которой обладает общеутвердительное предложение, безразлично, является ли число г или v, множитель предиката, единицей, или оно больше единицы. То же самое относится и к предикату частноотрицательного предложения, которое есть не что иное, как противоречащее общеутвердительному, как ясно из вышесказанного. Все это мы привели здесь не для доказательства^ а для иллюстрации.

IV. Греческая строчная буква (не употребляемая в качестве экспонента, о чем позднее) обозначает число, которое определенно больше единицы. Такое число встречается в отрицательных предложениях, как видно из приведенной выше таблицы и будет еще виднее из дальнейшего.

V. Строчная латинская буква, отмеченная каким-ни- будь экспонентом, выраженным греческой буквой, как vx,

г1*, образует число, о котором в силу формы известно, что оно чередуется с каким-то другим числом, также выраженным латинской строчной буквой с греческим экспонентом, так что одно из них необходимо является единицей, а другое — безразлично, равно ли единице или больше единицы.

А так как может случиться, что одновременно будет употреблено более двух букв, отмеченных такого рода экспонентами, то, чтобы было ясно, какие именно из них должны относиться друг к другу и составлять одну пару, мы будем поступать следующим образом: их экспонентами будут две греческие буквы, ближайшие друг к другу в алфавитном порядке, как здесь Я и ц . Это будет означать, что эти два числа v%, r11 так соотносятся между собой, что одно из них необходимо будет единицей, а другое при этом безразлично какое. Допустим, что мы имеем четыре такого рода числа: v%, /*•, р&, qy. Ясно, что они должны подразделяться на пары так, чтобы какое-нибудь из iA, /••* и какое-нибудь из /?Р, gv необходимо было единицей. Но если пары образованы неправильно, как Vх, р&, нет никакой необходимости, чтобы одно из двух было единицей, ибо может случиться, что и г* и qt являются единицами и потому из остальных ни одно [не является единицей]. Таким образом, для того чтобы можно было выделить пары, нужно прибегнуть к упомянутым мною наблюдениям. Но не следует забывать, что применение ограничивается лишь частноутвердительным предложением, потому что в этом случае необходимо, чтобы одно из чиселкоэффициентов было единицей, как об этом уже говорилось в вышеприведенной таблице. Я не без умысла применил именно экспоненты, а не какой-нибудь иной способ выражения, потому что таким образом я оставляю свободными такие буквы, как v, r, что весьма удобно; здесь я иногда прибегаю для простоты к начальным буквам терминов в примерах, разъясняющих суть дела, как выше: Н равн. гАх т. е. человек (homo) — это то жеЛ что

512

разумное (rationale) животное (animal). По я не хотел умножать буквы v, r на другие буквы для выражения нашего чередования, ибо каким же образом в таком случае эти другие отличались бы от остальных и как мы обозначили бы соответствующим образом равные, иначе как составив характеры или применив числа? Первое занимает много времени для написания, второе при написании нарушило бы точность равенства, ибо мы когда-нибудь должны были бы эксплицировать эти числа через единицу и сказать, например, что 3 равн. 1, что несообразно, хотя 3 мы берем здесь в качестве числа, а не характера. Для них одних нельзя было выделить определенные греческие или латинские буквы, потому что мы уже достаточно заняли их и их осталось довольно мало, тем более что, как я сказал, мы хотели бы, когда это удобно, применять начальные буквы терминов, а потому эти буквы не должны быть занятыми. Но я говорю об этом между прочим, чтобы тем, кто глубже заинтересуется этим, были ясны наши соображения.

ЭЛЕМЕНТЫ ИСЧИСЛЕНИЯ

(1)Термин есть субъект или предикат категорического предложения. Таким образом, я понимаю под термином не знак ' и не связку. Следовательно, когда говорится^ «мудрец верит», термином будет не «верит», а «верящий», т. е. это то же, как если бы я сказал «мудрец есть верящий».

(2)Под предложениями я понимаю здесь категорические предложения, если я не оговариваю иное; категорическое же предложение есть основание для всех остальных; модальные, гипотетические, дизъюнктивные и все другие предполагают категорическое предложение. Категорическим я называю [предложение] «А есть В» либо «А не есть В», т. е. ложно, что А есть В. Знак может варьироваться, так что предложение является общим и понимается о всяком субъекте либо частным, т. е. — о некотором.

(3)Пусть любому термину будет приписано характеристическое число, которое будет использовано в исчислении, как сам термип используется в рассуждении. Числа же я выбираю по мере того, как пишу, и позднее я употреблю другие знаки как для чисел, так и для самой речи.

Вданный же момент числа особенно полезны своей точностью и легкостью употребления, и, кроме того, становится очевидно, что в понятиях все столь же четко определепо, как и в числах.

(4)Правило нахождения соответствующих характеристических чисел сводится к одному: если понятие данного термина составляется прямо из понятий двух (или более) других терминов, то характеристическое число данного термина должно быть получено путем умножения друг на друга характеристических чисел терминов, составляющих понятие данного термина. Например, так как человек есть разумное животное (золото есть самый тяжелый металл), то отсюда, если число «животного» («металла») а есть 2 (те есть 3) и «разумного» («самого тяжелого») г есть 3 (р есть 5), число «человека» h будет тел же, что аг, т. е. в этом примере 2-3, или 6 (число «золота»,

т. е. «солнца» 2, s — то же, что тр, т. е. 3-5, или 15).

(5) Мы будем использовать буквы, как выше а, г, h (т, р, s), либо когда нет чисел, либо когда они рассматри-

ваются по крайней мере не в специфическом, а в общем значении, что нам и предстоит делать здесь, излагая элементы [этого исчисления], подобно тому как это обычно делается в символической алгебре, т. е. в образной арифыетике (Arithmetica figurata), чтобы не быть вынужденными на отдельных примерах представлять то, что мы можем дать единожды и сразу для всего бесконечного числа примеров. Ниже я объясню способ использования букв в этом случае.

(6) Впрочем, правила, изложенного в пункте 4, достаточно, чтобы объять нашим исчислением всю совокупность вещей целого мира, в той мере, в какой мы обладаем отчетливыми понятиями о них, т. е. насколько мы знаем некоторые их реквизиты, с помощью которых, после того как мы мало-помалу изучили их, мы можем отличить их от любых других, или насколько мы можем дать км определение. Ведь эти реквизиты суть не что иное, как термины, понятия которых образуют понятие, которое мы имеем о вещи. Большинство вещей мы можем отличить от других посредством их реквизитов, и, если есть такие, реквизиты которых трудпо обозначить, мы припишем им какое-пибудь простое число и будем пользоваться им для обозначения других вещей. Таким образом мы сможем найти и доказать с помощью нашего исчисления, во всяком случае, все предложения, которые могут быть доказаны без разложения вещи, временно принимаемой в качестве простой. Так Евклид в своих доказательствах нигде не употребляет определения прямой линии, но вместо него использует некие [предположения], принимаемые за аксиомы; Архимед же, желая идти дальше, вынужден разлагать саму прямую линию и определять ее как кратчайшую между двумя точками. Этим путем, если не во всем, то по крайней мере в бесчисленном множестве вещей, мы откроем и уже доказанное другими, и то, что другие когда-нибудь смогут доказать из уже известных определений и аксиом, а также экспериментов. И вот в чем наше преимущество: с помощью чисел мы сможем тотчас же судить, доказаны ли они или нет; и то, что другие [смогли сделать] с величайшим напряжением ума или случайно, мы достигаем с помощью одних лишь характеристических знаков и точного, истинно аналитического метода; поэтому то, на что в ином случае смертным потребовались бы многие тысячелетия, мы сможем совершить за столетие.

(7) Для того чтобы стало ясным употребление в предложениях характеристических чисел, следует иметь в виду, что всякое истинное общеутвердптельное категорическое предложение означает не что иное, как некую связь предиката и субъекта, связь, которую я постоянно имею здесь в виду; т. е. можно сказать, что предикат находится в субъекте, или содержится в субъекте, будет ли он рассматриваться абсолютно и в себе или по крайней мере в каком-то примере, т. е. о субъекте можно сказать, что он указанным выше способом содержит предикат, т. е. что понятие субъекта лпбо само по себе, либо с некоторым добавлением включает понятие предиката, а тем самым субъект и предикат относятся друг к другу либо как целое к части, либо как целое и совпадающее [с ним] целое, либо как часть к целому. В двух первых случаях предложение является общеутвердительным; так, когда я говорю: «Всякое золото есть металл», я этим хочу только сказать, что в понятии золота непосредственно содержится понятие металла, ибо золото есть самый тяжелый металл. И когда я говорю: «Всякий благочестивый счастлив», я не хочу сказать ничего иного, кроме того, что связь понятий «благочестивый» и «счастливый» такова, что в совершенстве постигнувший природу благочестия поймет, что природа счастья включается в нее непосредственно. Но во всех случаях, когда либо субъект, либо предикат представляют часть или целое, всегда имеет место частноутвердительное предложение. Например: «Некоторый металл есть золото»; ведь хотя металл сам по себе не содержит золота, однако некоторый металл с некоторым дополнением, т. е. специфическими свойствами (напр., то, что составляет большую часть венгерского дуката), по природе таков, что включает природу золота. Но между субъектами общего и частного предложений существуют различия в способе содержать нечто. Ибо субъект общего предложения, рассматриваемый в себе и взятый абсолютно, должен содержать предикат, так что понятие золота, рассматриваемое в себе и взятое абсолютно, включает понятие металла. Ведь понятие золота есть «самый тяжелый металл». Но в частноутвердительиом предложении достаточно, чтобы было сделано какое-то добавление. Понятие металла, рассматриваемое абсолютно и

взятое само по себе, не включает понятие золота, и, чтобы оно его включало, необходимо нечто добавить, а именно частный признак; ведь существует какой-то определен-

ный металл, который содержит понятие золота. В дальнейшем, когда мы будем говорить, что термин содержится в термине клп понятие — в понятии, мы будем иметь

ввиду «просто» и «в себе».

(8)Отрицательные же предложения лишь противоречат утвердительным и утверждают, что последние ложны. Так, частноотрицателъное предложение просто отрицает то, что утвердительное предложение является общим.

Когда я говорю: «Некоторое серебро нерастворимо в обычной крепкой водке» 3, я хочу сказать одно: общеутвердительное предложение «Всякое серебро растворимо в обычной крепкой водке» является ложным. Ведь если верить некоторым химикам, существует противоположный при- мер—то, что они называют «связанным серебром». Общеотрицательное предложение просто противоречит частноутвердительному. Например, если я говорю: «Ни один

преступник не является счастливым», я имею в виду, что ложно, что некоторый преступник счастлив. Таким образом, ясно, что из утвердительных могут быть поняты отрицательные, и наоборот.

(9) Далее, во всяком категорическом предложении имеются два термина. Два любых термина, поскольку о пих говорится, что они «находятся в» или «не находятся в», т. е. содержатся или не содержатся, различаются следующим образом. Либо один содержится в другом, либо пет. Если один содержится в другом, то один равен другому либо они различаются как целое и часть. Если ни один по содержится в другом, то они либо содержат нечто общее, но не очень отдаленное, либо совершенно различаются. Но разъясним эти разновидности по порядку.

(10) Два взаимосодержащих и равных термина я называю совпадающими. Например, понятие треугольника совпадает в результате с понятием трехсторонней фигуры, т. е. в одном понятии содержится столько же, сколько во втором, хотя на первый взгляд это не бывает очевидным; однако если кто-нибудь проведет в равной мере разложение и того и другого, он в конце копцов придет к одному результату.

(11) Два взаимосодержащих, но несовпадающих термина называются род и вид. Что касается понятий, или составляющих терминов (как они мною рассматриваются здесь), то они различаются как часть и целое, так что понятие рода является частью, а понятие вида — целым, поскольку составляется из рода и отличительного при-

знака. Например, понятие золота и понятие металла различаются как часть и целое, ибо в понятии золота содержится понятие металла, а кроме того, еще нечто, например понятие самого тяжелого металла. Таким образом, понятие золота больше понятия металла*.

(12) Схоластики говорят иначе, имея в виду не понятия, а примеры, являющиеся объектами общих понятий. Поэтому они говорят, что [понятие] металла шире [понятия) золота, ибо оно содержит больше видов, чем золото; я если бы мы захотели перечислить все золотые предметы, с одной стороны, и металлические предметы — с другой, последних конечно же оказалось бы больше,

ктому же первые содержались бы во вторых как часть

вцелом. Принимая во внимание это соображение, с помощью соответствующих знаков мы могли бы доказать все правила логики посредством исчисления, несколько отличного от принятого здесь — полученного просто обращением нашего исчисления. Но я предпочитаю ориентироваться на общие понятия, т. е. идеи и их комбинации, потому что они не зависят от существования индивидуальных предметов. Поэтому я утверждаю, что [понятие] золота больше [понятия] металла, нбо для понятия золота необходимо большее число компонентов, чем для [понятия] металла, и сложнее произвести золото, чем какой-нибудь другой металл. Итак, наше словоупотребление пе противоречит здесь языку схоластиков, но их надо тщательно различать. Впрочем, любому, кто займется этим вопросом, будет ясно, что я ничего не меняю в способах выражения без определенных оснований и соображений пользы.

(13)Если ни один из терминов не содержится в другом, они называются раздельными, и тогда опять-таки, как я уже сказал, они либо имеют» нечто общее, либо различаются совершенно. Имеют нечто общее те, которые объединяются в одном и том же роде и которые можно было бы назвать со-видами, как, например, человек и животное обладают общим понятием живого существа, золото

исеребро — металла, золото и купорос — общим понятием минерала. Отсюда ясно также, что два термина имеют больше или меньше общего [содержания] в зависимости от большей или меньшей отдаленности их рода. Ведь если род очень отдален, тогда весьма незначительным будет то, что виды имеют общего. И если род будет еще больше отдален, мы назовем такие вещи гетерогенными, т. е. совершенно различными, как тело и дух;

518

не потому, что у них нет ничего общего, во всяком случае и то и другое — субстанции, но потому, что этот общий род весьма отдален. Отсюда ясно: следует называть нечто гетерогенным или нет — это вопрос сравнения. Для нашего же исчисления достаточно, чтобы две вещи не имели в качестве общего ни одного понятия среди установленных и определенных нами, хотя, может быть, они обладают другими общими им понятиями.

(14)Перенесем теперь все сказанное нами о терминах,

вразличной мере содержащих друг друга или не содержащих, на их характеристические числа. Это легко сделать, поскольку в пункте 4 было сказано, что если термин участвует в составлении другого термина, т. е. если понятие термина содержится в понятии другого термина, то характеристическое число составляющего термина участвует путем умножения в образовании характеристического числа, которое будет взято вместо составляемого термина; или, что то же самое, характеристическое число составляемого термина, т. е. содержащего другой, делится на характеристическое число составляющего термина, т. е. находящегося в другом. Например, понятие животного участвует в составлении понятия человека, и, таким образом, характеристическое число животного а (напр., 2) вместе с каким-то другим числом г (напр., 3) будет множителем числа аг, или h (2-3, или 6), а именно характеристического числа человека. Поэтому необходимо, чтобы число аг, или h (т. е. 6), могло делиться на а (т. е. на 2).

(15)Когда два термина совпадают, например «человек»

и«разумное животное», тогда и числа h и аг в результате совпадают (как 2-3 и 6). Поскольку, однако, один термин таким образом содержит другой, хотя и взаимообратимо, ибо «человек» содержит «разумное животное» (и ничего, кроме этого) и «разумное животное» содержит «человека» (и ничего, кроме того, чего бы уже не содержа-

лось в человеке), необходимо, чтобы числа h и аг (2-3 и 6) также содержали друг друга, что в любом случае истинно, ибо они совпадающие, а одно и то же число в любом случае содержится в самом себе. Кроме того, необходимо также, чтобы одно могло делиться на другое, что также истинно, ибо, если какое-то число разделится само на себя, получится единица. Таким образом, сказанное нами в предыдущем пункте о том, что если один термин содержит другой, то его характеристическое число должно

519