Классики / Новая / Лейбниц / Сочинения. Т. 3

делиться на характеристическое число второго, имеет место и для совпадающих терминов *.

(16) Таким образом, с помощью характеристических чисел терминов мы можем зпать также и то, какой именно термин не содержит другой. Ведь следует лишь проверить, может ли число одного без остатка разделить число другого. Например, если характеристическое число человека принять за 6, а обезьяны — за 10, ясно, что ни понятие обезьяны не содержит понятия человека, ни наоборот, потому что ни 10 не может точно делиться на 6, ни, наоборот, 6 на 10. Если, следовательно, спросить, содержится ли в понятии «справедливое» понятие «мудрое», т. е. действительно ли для мудрости не требуется ничего, кроме того, что уже содержится в справедливости, нужно будет только проверить, может ли характеристическое число «справедливого» делиться точно на характеристическое число «мудрого»; и если деление не получается, ясно: для мудрости требуется что-то еще, чего не требуется для справедливости, а именно знание оснований, ибо кто-то может быть справедливым в силу привычки, т. е. обычая, будучи неспособным в то же время привести основания того, что он делает. Каким же образом можно с помощью характеристических чисел найти этот необходимый минимум, который требуется, и что следует добавить, об этом я скажу позднее.

(17) Таким образом, отсюда мы можем знать, является ли истинным некое общеутвердителыюе предложение. Ведь в нем понятие субъекта, взятое абсолютно и неопределенно и вообще рассматриваемое само по себе в целом, всегда содержит понятие предиката. Например, «Всякое золото есть металл», т. е. понятие металла содержится в общем понятии золота, рассматриваемом само по себе, так что все, что принимается за золото, тем самым принимается за металл, ибо все реквизиты металла (быть ощутимо однородным, плавиться в огне, по крайней мере при определенных условиях, в жидком состоянии не пропитывать погруженные в него инородные тела) содержатся среди реквизитов золота. Мы объяснили это подробнее в 7-м пункте. Таким образом, если мы хотим узнать, всякое ли золото есть металл (ведь можно, например, сомневаться, является ли металлом гремучее золото 5, ибо оно имеет форму порошка и в огне взрывается, а не плавится), нам необходимо только выяснить, присуще ли ему определение металла, т. е., коль скоро мы имеем

520

характеристические числа, простейшим образом узнать, делится ли характеристическое число золота на характеристическое число металла.

(18) Однако в частноутвердителъном предложении нет необходимости, чтобы предикат присутствовал в субъекте, рассматриваемом сам по себе и абсолютно, т. е. чтобы понятие субъекта само по себе содержало понятие предиката, но достаточно предикату содержаться в каком-то виде субъекта, т. е. чтобы понятие какого-то вида субъекта содержало понятие предиката, хотя бы и не было выражено, каков именно этот вид. Отсюда если сказать: «Некоторый опытный [человек] есть благоразумный», то этим не говорится, что в понятии «опытное», рассматриваемом в себе, содержится понятие «благоразумное»; но это и не отрицается, и для нашей цели достаточно, что ка- кой-то вид «опытного» обладает понятием, содержащим понятие «благоразумное», хотя, может быть, и не выражается, каков именно этот вид; т. е. хотя здесь и не выражено, что лишь тот опытный благоразумен, который обладает к тому же естественной способностью суждения, однако достаточно, что подразумевается, что некоторый вид «опытности» включает «благоразумие».

(19) Более того, если понятие субъекта, рассматриваемое в себе, содержит понятие предиката, то в любом случае понятие субъекта с добавлением, т. е. понятие вида субгекта, будет содержать понятие предиката. Нам этого достаточно, так как, говоря, что предикат присущ виду субъекта, мы не отрицаем того, что предикат присутствует в самом субъекте. Так, мы можем сказать, что некоторый металл в огне (соответствующим образом поддерживаемом) становится жидким, хотя мы могли бы утверждать это с большей пользой и в более общей форме: «Всякий металл в огне и т. д.». Однако и частное утверждение может найти свое употребление, ибо иной раз оно легче доказывается, чем общее, и мы удовлетворяемся частными предложениями.

(20) Таким образом, поскольку для частноутвердительного предложения не требуется ничего другого, кроме того, чтобы вид субъекта содержал предикат, отсюда [следует, что] субъект относится к предикату либо как вид к роду, либо как вид к чему-то с ним совпадающему, т. е. взаимообратимому атрибуту, либо как род к виду, т. е. понятие субъекта будет выступать по отношению к понятию предиката либо как целое к части, либо как целое

521

к совпадающему с пим целому, либо как часть к целому (см. выше, п. 7 и 11).

Как целое к части — когда понятию субъекта как вида присуще понятие предиката как рода, например если дикий гусь будет субъектом, птица — предикатом. Как целое к совпадающему с ним целому — когда две равносильные вещи утверждаются взаимно друг о друге, например когда треугольник — субъект, а трехсторонник — предикат. Наконец, как часть к целому — например, когда металл есть субъект, а золото — предикат. Таким образом, мы можем сказать: «Некоторый дикий гусь есть птица», «Некоторый треугольник есть трехсторонник» (хотя два этих предложения я мог бы высказать как общие), наконец, «Некоторый металл есть золото». В других случаях частноутвердительное предложение не имеет места. Доказываю я это следующим образом: если вид субъекта содержит предикат, то он во всяком случае будет содержать его либо как совпадающий с пим, либо как часть; если [он содержит его] как равный себе, т. е. совпадающий, тогда во всяком случае предикат есть вид субъекта, так как совпадает с видом субъекта; если же вид субъекта содержит предикат как часть, предикат будет родом вида субъекта согласно пункту 11; таким образом, предикат и субъект будут двумя родами одного и того же вида. Два рода одного и того же вида либо совпадают, либо, если не совпадают, необходимо относятся друг к другу как род и вид. Это легко показать, поскольку понятие рода формируется простым отбрасыванием от понятия вида, т. е. когда из вида, общего для двух родов, оба [рода] образуются благодаря беспрерывному отбрасыванию (как нечто остающееся, когда будет отброшено все лишнее), один оказывается-перед другим, и один будет целым, а другой — частью 6. Более того, здесь мы имеем паралогизм и вместе с тем рушится многое из того, что мы сказали до сих пор, ибо я вижу, что частноутвердительное предложение имеет место даже тогда, когда ни тот ни другой [термин] не есть ни род ни вид, как в случае [предложения] «Некоторое животное есть разумное», лишь бы только эти термины были сопоставимы. Отсюда ясно, что нет никакой необходимости в том, чтобы субъект мог делиться на предикат или предикат на субъект. А на этом мы до сих пор строили многое. Следовательно, мы рассуждали более ограниченно, чем это требуется, а поэтому начнем рассуждение снова 1.

ЭЛЕМЕНТЫ УНИВЕРСАЛЬНОГОИСЧИСЛЕНИЯ

Термин, например «животное», «человек», «разумное», я обозначаю числами: а, Ь, с, так чтобы термины, вместе образующие какой-нибудь термин, были обозначены числами, которые, будучи помноженными друг на друга, образовывали бы число [этого термина]; так, поскольку «животное» и «разумное» образуют «человека», этот термин b будет равен ас, получаемому из умножения а на с.

Категорическоеобщеутвердителъноепредложение, на-

пример, «Человек есть животное» выразим так: — равн. у,

или Ъ равн. уа. Это означает, что число, которым выражается «человек», делится на число, которым выражается «животное», хотя то, что получается в результате деления, а именно у, здесь не рассматривается, хотя нам известно, что у здесь будет с. Если бы было известно, что у есть единица, тогда Ъ и а были бы эквиполентны, или, если они эквиполентны, у есть единица. Впрочем, мы можем это выразить и так: «Всякое b есть а».

Общеотрицателъное предложение, например, «Ни один человек не есть камень» сведем к следующему утвердительному: «Всякий человек есть не-камень». Термин же «не-камень» будет относиться ко всему, кроме камня; итак, выразим этот термин «не-камепь» неопределенным числом, о котором известно только, что оно не делится на число «камня». Ведь если человек не есть камень, он не будет ни камнем крошащимся, ни камнем прозрачным, ни камнем драгоценным, а потому — ни алмазом, ни мрамором и т. д. Число же, которое не делится на какое-то данное число, есть то, которое не делится на некое простое число, на которое делится данное число. Например, пусть делимое число будет а$у, равн. /, п делитель будет бе, равн. g, так что все простые числа делимого будут а, р, у, одно же число делителя будет б,

которое не содержится среди этих а, (3, у. Ясно, что ^Д

равн. —. Итак, обозначая простые числа греческими бук-

о

вами п написав:

— равн. ^ — ,

мы выражаем, что -- есть дробь, т. е. общеотрицательное

предложение х. Под точками... понимается то же, что «и т. д.», и предполагается, что на пустом месте можно написать любые числа, только бы они не содержали ни ос, ни б. И так как общеотрицательное предложение обратимо, то это тоже ясно выражается здесь, поскольку -

случаях одинаковы.

Частноутвердителъное предложение, например, «Некоторый человек положителен» означает, что какому-то человеку присуща «положительность», т. е. число «некоторого человека» может быть разделено на число «положительного», например число «человека разумного»;

следовательно, то, о чем идет речь, выразим так: - -

I

равп. z, предположив, что $h равн. v, означающее, что если число «человека» умножить на другое число, целое или дробное ^ (числа, либо целые, либо дробные, я буду выражать еврейскими буквами), произведение может делиться па /.

Однако, чтобы понять это точнее, разъясним сначала сами простые термины ос, f$, у и т. д., т. е. греческая буква означает простое число, которое не может быть субъектом ни в одном общеутвердительном предложении, кроме тождественного, т. е. кроме какого, в котором оно само является и предикатом.

а, Ь, с, т. е. латинские буквы из первых [букв алфавита], обозначают определенное число, т. е. данное простое или непростое.

s, t, v, w, х, у и т. д., т. е. латинские буквы из последних [букв алфавита], обозначают неопределенное целое число, простое или непростое.

— обозначает предикат самого b в общеутвердительном

предложении, т. е. какое-то число, например а, которое получается в результате деления b на какое-нибудь неопределенное число, подходящее для деления. Ибо когда ставится неопределенное [число], под этим [понимается!

подходящее. Таким образом, если я скажу, что а равн. -,

то это то же самое, как если бы я написал, что ау равн. Ь, как выше, либо Ъ равн. ау. Этот способ написания наилучший, ибо он соответствует высказыванию «Человек есть некоторое животное».

Термин ау, или —, обозначает неопределенный термин,

т. е. либо общий, либо частный, и он, являясь предикатом утвердительного предложения, общего или частного, либо сам по себе общий, либо частный. Определенный термин b всегда означает общий термин; таким образом, даже если я скажу: «ас равн. Ь» («Разумное животное есть человек»), где [этот термин] является предикатом в общеутвердительном предложении, то, поскольку это предложение обратимо, это то же самое, как если бы я сказал: «Всякое разумное животное есть всякий человек». Более того, и в следующем [предложении]: «ус есть Ь», т. е. «Некоторое разумное есть человек», происходит обращение. Ибо всякий человек есть нечто разумное 2.

Отсюда общеутвердительное предложение имеет вид: «Ь есть уа» 3, т. е. «6 есть с». Первое — необратимое, второе — обратимое, или, в более общем виде, «Ь есть уа», либо чЪ есть zc», однако число z есть то же, что и единица, которая не умножает. Частноутвердительное предложение имеет вид: «уа есть Ы или «уа есть zc» 4. Отсюда доказывается, что частноутвердительное предложение обратимо в частноутвердительное, ведь, поскольку «уа есть Ь» обращается в равенство, это всегда будет иметь место, так как субъект уа может быть разделен на предикат b

п получится «~г равн. х», если положить х неопределенным результатом деления. Следовательно, будет: «уа равн. xb». Следовательно, «хЪ равн. уа». Следовательно, «xb есть а» 5, т. е. предложение будет обращенным, как в требовалось. Все это я представлю теперь короче и

точнее.

(1) Главное правило нашей характеристики состоит в том, что любой термин, например «животное» — а,

«человек» — Ь, «разумное» — с, представляется числом, которое получается из умножения чисел, представляющих термины, образующие данный термин, так что число о равн. ас, потому что человек есть разумное животное. Пусть число «животного» будет 2, «разумного» — 3, тогда число «человека» будет 6. Отсюда следует, что во всяком

525

категорическом предложении число субъекта должно быть делимо на число предиката. Например, «Человек есть животное»: Ь может делиться на а, т. е. 6 — на 2.

(2) Отсюда следует, что предложение всегда может быть превращено в равенство, потому что, если число предиката умножить на какое-то другое число, а именно на получающееся в результате деления субъекта на предикат, появляется число, равное числу субъекта. Ведь если частное умножить на делитель, получается делимое.

«— равн. с». Следовательно, «6 равн. аа>.

(3) Когда не известно, что есть частное, а это происходит, когда дан только предикат и не дано всего остального, что составляет понятие, тогда вместо неизвестного может быть взято неопределенное число, например х, у, z; например, «снег» будет субъектом «метеорологического явления», т. е. мы говорим: «га есть /га»; п во всяком случае может быть разделено на т, т. е. можно сказать, что -2 равняется «чему-то». Но так как пе установлено, каково это «что-то», и мы не знаем совокупности остальных необходимых для этого реквизитов, как-то: снег есть некоторое метеорологическое явление, холодное, пенообразное, ощутимо падающее, мы назовем это неизвестное соединение s и скажем: «- равн. s», что дает «п равн. sm», т. е. снег

есть то же самое, что и какое-то определенное метеорологическое явление.

(4) Таким образом, во всяком равенстве, т. е. в просто обратимом предложении, нужно соблюдать, чтобы ка- кая-то буква, употребленная абсолютно, обозначала общий термин, как, например, п — «всякий сиег». Умноженное же на неизвестную букву s, например sm, обозначало бы термин со знаком частности, например «некоторое метеорологическое явление».

(5) Отсюда ясно, каким образом равенство должно превратиться в предложение, ведь любой термин равенства может стать субъектом предложения, лишь бы второй стал предикатом, и наоборот; однако термин, который должен стать субъектом предложения, должен оставаться таким, каким он был в равенстве; в термине же, который должен стать предикатом, может быть опущена неопределенная буква, например «п равн. sm», отсюда будет: «п есть sm». Всякий снег есть то определенное метеорологи-

526

ческое явление, о котором я говорю, и «sm есть и». Т. е. всякое определенное метеорологическое явление, о котором я теперь говорю (т. е. какое-то метеорологическое явление), есть снег.

(6)Следует отметить, что я понимаю в качестве общего субъекта предложения тот, который не отмечен никаким знаком частности. Снег есть метеорологическое явление, т. е. всякий снег есть метеорологическое явление. Из этих принципов, касающихся категорических утвердительных предложений, легко выводится все остальное.

(7)«га есть т». Следовательно, «га равн. smi> (по правилу обращения предложения в равенство, п. 3). Следовательно, «га есть sm» (по правилу обращения равенства

впредложение, и. 5). Всякий снег есть метеорологическое явление. Следовательно, всякий снег есть какое-то метеорологическое явление.

(8)Далее, если «га есть тп», т. е. «га равн. sm», следовательно, согласно природе чисел, т. е. равенства, «tn равн. tsm)>, т. е. в результате обращения равенства в предложение «tn есть т». Т. е. если всякий снег есть метеоро- логическоеявление,следовательно,какой-тоснегестьметео- рологическоеявление.

(9)Если «tn есть иг», следовательно, «Ш равн. vmi> — по п. 3. Следовательно (по п. 5), «wra есть га»6. Т. е. если

какой-то снег есть метеорологическое явление, следовательно, какое-то метеорологическое явление есть снег.

(10)Отсюда, наконец, мы заключаем: если п есть т, следовательно, vm есть п. Т. е. если всякий сиег есть метеорологическоеявление, следовательно, некотороеметеорологическое явление есть снег. Ибо если «га есть т», следовательно, «tn есть иг» — по п. 8. Если «tn есть иг», следовательно, «vm есть га» — по п. 9. Следовательно, если «га есть тп», «шг есть га». Что и требовалось доказать.

(И)Отсюда же непосредственно могут быть доказаны

псвойства отрицательных предложений. Ибо частноотрицательное указывает только на ложность общеутвердителыюго. Отсюда те предложения, из которых заключают к общеутвердительному, если оно истинно, также являются ложными.

(12) Таким же образом общеотрицательное предложепие указывает на ложность частпоутвердительного. Отсюда же оно говорит также о ложности тех предложений, из которых можно заключать к частноутвердителыгому, как, например (по п. 8), общеутвердительпого. Следова-

тельно, из общеотрицателшого заключают к ложности общеугвердптельного и тем самым (по п. 11) к истинности частноотрицательного.

(13) И так как U.N. указывает на ложность Р.А. и от Р.А. заключают к обращению Р.А., следовательно, U.N. указывает на ложность обращенного Р.А., т. е. (по п. 12) на истинность обращенного U.N. Таким образом, оно может быть обращено просто.

Но рассмотрим это в пашей характеристике более пространно 7.

никло понятие, совпадающее с понятием человека. Л это всегда имеет место в раздельных [понятиях], т. е. таких, из которых ни одно не есть ни род, ни вид, так что необходимо что-то прибавить, а что-то отнять, для того чтобы одно обратилось в другое. Но чтобы из рода получился вид, необходимо лишь прибавить отличительный признак, а чтобы из вида получился род — только отнять. Поэтому, если кто-то спросит у меня, что еще необходимо человеку, чтобы он был тождественным животному, я скажу, что не требуется ничего положительного, но скорее следует нечто опустить, а именно — наделенность разумом, что выражается дробью —, которая означает, что для

того, чтобы число человека Ь было сведено к числу животного а, следует само число человека умножить на

дробь —, т. е. разделить на с. Отсюда ясно: если то, что

мы хотим образовать из вида путем прибавления како- го-то нового реквизита, есть род, то сам род образуется из вида лишь отнятием специфического отличительного признака, т. е. вид каким-то образом делается родом и наоборот, так что специфический отличительный признак рода по отношению к виду есть опускание специфического отличительного признака вида по отношению к роду, и в результате дробное число, которое должно быть умножено на Ъ — вид, чтобы отсюда получилось а — род, будет простой дробью, имеющей числителем единицу. Но чтобы одно раздельное [понятие] стало другим, частично следует что-то опустить, а частично что-то прибавить, следовательно, реквизитом для этого будет дробь, числитель которой больше единицы. Любому внимательному наблюдателю все это ясно из нашего основного правила, ибо если полагание (positio) понятий мы выражаем умножением чисел, то опускание понятий мы будем выражать делением их 8.

Поскольку до сих пор я осторожно говорил скорее об опусканиях, выраженных дробями, чем об отрицаниях, необходимо найти переход к отрицательным предложениям. И здесь нужно принять во внимание следующее. Я могу сказать «Некоторое из метеорологических явле-

впонятии «метеорологическое явление» и требуется в понятии «снег». Таким же образом можно сказать «Какойто камень не есть человек», потому что для человека требуется нечто, чего не требуется для камня. Следовательно,

вслучае, когда т есть род, п — вид, образуется обще-

утвердительное предложение рода о виде «га есть иг», в котором п имеет знак общности, а каков знак т — безразлично. Отсюда получается равенство «га равн. sm» между числами п и sm. Следовательно, разделив на s,

получаем: « — равн. т»; умножив это равенство на х,

получаем « — равн. отг». Отсюда по правилу превращения равенств в предложения согласно п. 5 получится: «хт есть —», где — означает то же, что и некоторое не-ге, как

in означает некоторое п. Поскольку умноженное на букву есть частноутвердительный термин, постольку деленное па букву необходимо есть частноотрицательный термин. Следовательно, мы имеем: «Некоторое метеорологическое явление есть некоторый не-снег». В любом предложении не имеет значения, каков знак предиката, и мы, таким образом, имеем: «Некоторое метеорологическое явление есть не-снег». Более того, мы можем сказать еще проще:

«т. есть —». Опуская х, мы можем воспользоваться тем

правилом, что предложение является частным, если субъект умножается на неопределенную букву, и что оно же является частным, если предикат делится на неопределенную букву. Таким образом мы, по-видимому, вполне устаповили природу частноотрицательного предложения. При

любой данной дроби — можно сказать, что — есть отрицание или любого вида s, или числа, делимого на s, или самого zs, т. е. тождественно никакому s. Таким образом, сказать: «Человек не есть камень» — то же самое, что сказать: «Человек есть то, что есть не-камень». Так, некоторое животное есть то, что не является никаким человеком. Следовательно, нечто, что не есть никакой человек, есть животное.

Подытожим установленные нами способы выражения. п либо т, взятое абсолютно, есть неопределенный термин. Если субъект есть sm — предложение частное. Если

предикат есть - — предложение частноотрицательное.

Или лучше так: если из термина какого-нибудь равенства получается субъект в результате опускания какой-то умножающей буквы либо предикат в результате опускания какой-то делящей буквы, получается частное предложение. Из этих двух одно зависит от другого. Пусть будет «те равн. fd», например «Самый прочный металл есть то же самое, что самое ковкое полезное ископаемое»; отсюда получается частное предложение «т есть fdt> — «Некоторый металл есть самое ковкое полезное ископаемое». То, что из нашего равенства получается равенство «т

id

равн. —», очевидно, если опустить делитель в предикате;

[здесь] происходит то же, что и в предыдущем равенстве при опускании множителя в субъекте, а именно: «т есть fd». Следовательно, и это предложение тоже частное. Действительно, и в том и в другом случае предикат берется шире субъекта либо, что то же самое, субъект — уже предиката, что само по себе не указывает (если только это неизвестно откуда-то еще), предикат ли, расширенный подобным образом, может содержать большее, или субъ-

с более многочисленными реквизитами, так что, если субъект умножить либо предикат разделить, от этого не изменится знак, который был в равенстве, а именно знак общности, тем не менее предикат не перестает содержаться во всяком субъекте, ибо то, что содержится в роде, содержится и в виде. И точно так же, в чем содержится род, в том содержится и род рода — по правилу: часть части есть часть целого. Следовательно, мы имеем правило знаков.

Что касается правила утверждений и отрицаний, то существуют два случая: либо мы отрицаем вид о роде, либо отрицаем раздельное о раздельном. Если мы отрицаем вид о роде, повторится случай, который мы имели выше. Так, «ас равн. Ь»; ясно, что а есть род и человек есть вид. Отсюда мы хотим образовать предложение: «Некоторое животное не есть человек». Это получается, если мы отнимем что-либо от термина, который должен стать субъектом, не отнимая ничего от термина, который должен стать предикатом.

Если же мы захотим отрицать раздельное о раздельном, как, например, раздельны медь и золото, посмотрим, как следует здесь рассуждать. «Никакая медь не

есть золото», т. е. «Неверно, что некоторая медь есть золото». Укажем, таким образом,, только, что следующее предложение ложно: «Некоторая медь есть золото». Также: «Никакая медь не есть золото», следовательно, «Всякая медь есть не-золото». Нужно заметить, что предложение «Никакая медь не есть золото» неудачно выражается через следующее: «Всякая медь не есть золото» (что, по-види- мому, только говорит: «Некоторая медь не есть золото»), но лучше [выражается] через такое: «Всякая медь есть не-золото». Итак, то, что зависит от духа языка, не может и не должно доказываться. Но, может быть, лучше: «Всякий человек есть животное». Следовательно, «Все, что есть не-животное, есть не-человек». Но это дает нам только отрицательное [отношение] между родом и видом, но не между раздельными: « — есть не-s». Т. е., если в дробном термине при опускании числителя получается цельный термин предложения, являющийся знаменателем, этот термин будет отрицательным знаменателем. Более того: тс равн. Ь». Следовательно, «с равн. —»... 9

1

ИССЛЕДОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Для введения универсального исчисления необходимо придумать для каждого термина характеристический знак, так чтобы из последующей связи знаков сразу же можно было бы установить истинность предложений, построенных из этих терминов.

Наиболее удобными знаками я считаю числа. С ними очень легко обращаться, они могут быть применены к любым вещам и отличаются точностью. Характеристические числа каждого данного термина образуются в том случае, когда характеристические числа терминов, из которых складывается понятие данного термина, будучи помноженными друг на друга, производят характеристическое число данного термина.

Поэтому необходимо, чтобы в любом истинном общеутвердителыгом предложении характеристическое число субъекта могло точно делиться на характеристическое число предиката. Пусть «Всякое золото есть металл». Точно так же — «Всякий треугольник есть трехсторонник». Такого рода предложение говорит только о том, что предикат находится в субъекте, и потому характеристическое число предиката находится в характеристическом числе субъекта и будет включаться так, как об этом было сказано, т. е. множители будут входить в результат умножения, равно как делители — в делимое, ибо результат такого умножения всегда может быть точно разделен на множитель.

Далее, термины бывают положительные или отрицательные. Например, положительный термин — «человек», отрицательный — «не-человек». Положительных"! термин может быть выражен отрицательно, например «бесконечное» (что то же самое, что абсолютно наибольшее), точно так же отрицательный термин может быть выражен положительно, как, например, «грех», что есть беззаконие.

Противоречивыми терминами являются те, из которых один положительный, а второй отрицательный по отношению к этому положительному, например «человек» и «не-человек». В этом случае необходимо соблюдать сло-

дующее правило: если даны два предложения с одним и тем же единичным субъектом, предикатами которых являются противоречащие термины, то одно из этих предложений необходимо является истинным, второе — ложным. Я повторяю: с одним и тем же субъектом, например: «Это золото есть металл», «Это золото есть не-металл».

Далее, это единственное предложение (ведь из этих двух — «В есть Л» и «В есть не-А» — одно истинно, другое ложно) содержит в себе четыре следующих предложения.

I. Если истинно предложение «В есть А», тогда ложно предложение «В есть яе-А».

II. Если истинно предложение «В есть не-Л», тогда ложно предложение «.В есть А».

III. Если ложно предложение «5 есть А», тогда истинно предложение «В есть яе-А».

IV. Если ложно предложение «.В есть яе-А», тогда истинно предложение «В есть А».

Т. е., вообще говоря, если одним из терминов условного предложения является одно предложение и один атрибут предложения, то другим термином будет другое предложение и другой атрибут. Предложениями, следовательно, будут «5 есть А» и «В есть яе-А», атрибутами же их являются «истинное предложение», «ложное предложение» *.

Ложное предложение определяется как такое, которое будет истинным, если в качестве его предиката взять отрицательный термин. Из приведенных выше возникнут следующие [предложения].

I. Если истинно предложение «В есть А», тогда истинным будет следующее: «Z? есть ве-ие-А».

П. Если истинно предложение «В есть яе-А», тогда истинно предложение «В есть яе-А», которое является тождественным.

III. Если истинно предложение «В есть яе-А», тогда истинно предложение «В есть пе-А», также тождественное.

IV. Если истинно предложение «В есть не-яе-Л», тогда истинно предложение «В есть А».

Определения.

Противоречивые термины — это те, один из которых образуется присоединением отрицания к другому. Отсюда следует, что их может быть только два и «не-не-Л» — это то же самое2 что «А».

534

Истинное предложение — такое, предикат которого содержится в субъекте, т. е. находится в нем. И если на место каких-то терминов подставить эквивалентные, т. е. другие, из которых они составлены, то окажется, что все термины, эквивалентные предикату, одновременно находятся среди терминов, эквивалентных субъекту. Неистинное предложение, т. е. ложное, есть такое, где подобного не происходит 2.

Ложное же предложение есть то же самое, что неистинное. Так что эти два термина, «истинный» и «ложный», являются противоречивыми. Отсюда и прочие могут быть доказаны из некоторых таких предложений. Мы можем подняться еще выше и взять, например, такое: Если предложение «В есть А» есть истинное, тогда предложение «В есть не-А» есть ложное. И так как это предложение «В есть А» в свою очередь является субъектом предложения, а предикатом является истинное, отсюда вместо субъекта это предложение «В есть А» напишем р\ а вместо предиката истинное напишем а. И поскольку «ложное» есть то же самое, что «не-истинное» (из определения термина), постольку появится такое предложение:

Если предложение «р есть а» истинное, тогда предложение <ф есть не-а» ложное. Т. е.:

т. е., проще говоря, если истинно, что какое-то предложение истинно, то ложно, что оно ложно. И то же самое в более сокращенном виде: если предложение истинно,, то ложно, что оно ложно. Если предложение истинно,, тогда следующее предложение: «Предложение истинно» — истинно.

Во всяком общеутвердительном предложении предикат содержится в субъекте и потому характеристическое число субъекта может делиться на характеристическое число предиката.

Во всяком частноутвердительном предложении характеристическое число субъекта, умноженное на другое число, может делиться на характеристическое число предиката; поэтому какое-нибудь частноутвердительное предложение всегда может быть выражено в терминах чисто утвердительных и составленных из чисто утвердительных „

535

у,Сю в таком случае никогда не возникает никакой несопоставимости.

Я не могу удовлетворительно выразить отрицание ка- кого-нибудь термина, например «не-человек», через знак минус, потому что ото будет касаться всего целого термина, чего в данном случае быть не должно. Ведь когда я говорю «ученый не-умный», я специально говорю, что это ученый, ьо не умный, хотя мог бы сказать «умный не-ученый», но в таком случае я говорю нечто иное.

Если я скажу «ученый не-умный, не-справедливый», я не могу выразить это формулой -\-d —р —/, ибо получилось бы +dpj.

Можно было бы к числу или к букве присоединять знак квадратного корня, ибо несопоставимые термины могут быть как-то выражены через несоизмеримые числа, как, например, а и У а; подобно тому как «нет-нет» дает

утверждение, так У a У а дает а.

Однако разница здесь состоит в том, что скорее это

обозначает, что У У а есть а, ибо, если даже сложить «несправедливый» и «несправедливый», отсюда не получится «справедливый».

Если одно есть целое, а другое — дробь от него, они будут несопоставимы, ибо, помноженные друг на друга, исчезнут, и тогда каким же образом мы сможем судить, что предложение является невозможным, если пе по тому, что результат не может больше делиться ни на один из них? Конечно же не сможет, если только не произведет новую дробь. Далее, если мы захотим узнать, содержится ли отрицательный термин в каком-нибудь термине, разделим термин на этот отрицательный, получится противоречащий отрицательному, т. е. число, которому присущ утвердительный [термин]. Таким образом, ясно, что деление не получается 3.

U.А. «Всякое // есть А», следовательно, «II равн. гА». Р.А. «Нек. А есть Н», следовательно, «гА равн. vH». Можем просто вместо U.N. употребить:

U.N. «Пи одно // не есть В», следовательно, «уН пе равн. гВ».

P.N. «Нек. А не есть II», следовательно, «II не равн. гА». По чтобы выразить это в числах, будем считать, что «не-человек» означает все что угодпо, кроме человека. Представляется, что это термин единицы, который есть то же самое, что и термин сущего, т. е. любого [существа].

He-человек будет у — Н.

Всякий человек есть не-камеиь, т. е.:

Таким образом, / дает термин, первоначально несопоста-

вимый, который есть в человеке, а противоречащий ему —

вкамне.

Аможет быть, вместо чисел удобнее выразить так: всякое отрицаемое число отделим от другого знаком «не-», например «ученый не-умный, не-справедливый», и будем писать «dne-pj», а если только «неумный, несправедливый», будем писать «/ не-/?;». Если же в свою очередь будет отрицаться этот термин — «ученый не-умный, не-справед- ливый», очевидно получится «справедливый, умный неученый» и будем писать «pj ne-d». Таким образом мы не будем смешивать отрицаемые термины с утверждаемыми

ибудем знать, что все делители числа, о котором идет речь, суть отрицания. Ведь отрицаемые должны равняться

отрицаемым^ утверждаемые — утверждаемым: в равенстве...4

ПРАВИЛА, ПО КОТОРЫМ МОЖНО С ПОМОЩЬЮ ЧИСЕЛ

СУДИТЬ О ПРАВИЛЬНОСТИ ВЫВОДОВ, О ФОРМАХ И МОДУСАХ КАТЕГОРИЧЕСКИХ СИЛЛОГИЗМОВ

Явывел эти правила из более глубокого основания и

снебольшими изменениями могу приспособить их к модальным, гипотетическим и любым другим силлогизмам, различным образом приумноженным, продолженным, преобразованным и видоизмененным, так что из суммы чисел даже в очень длинных цепях рассуждений будет ясно, надежен ли вывод. Поскольку, однако, до сих пор логики могли рассматривать только более общие и простые, расположенные в определенном порядке аргументы, а все прочие аргументы были вынуждены нудно в них переводить, это не без основания отвращало людей от перенесения правил логиков в практическую область. Кроме того,,

уменя еще есть способ нахождения определенных характеристических знаков, которые, будучи применены к вещам, позволяют судить, справедлив ли аргумент в силу материи или в силу формы; более того, исходя из того же принципа могут быть найдены и другие способы, намного более важные и полезные практически, чем те, которых мне удалось достичь. Но сейчас мне достаточно лишь изложить простейший способ выражения в числах форм выводов, имеющих широкое хождение в школах.

Во всяком категорическом предложении имеются субъект, предикат, связка, качество, количество. Субъект и предикат называются терминами. Например, в предложении «Благочестивый есть счастливый» «благочестивый» и «счастливый» суть термины, из которых «благочестивый» есть субъект, «счастливый» — предикат, «есть» — связка. Качество предложения есть утверждение или отрицание. Так, предложение «Благочестивый есть счастливый» утверждает, а другое — «Преступный не есть счастливый» отрицает. Количество предложения есть его общность или частность. TaKj когда я говорю: «Всякий благочестивый

538

есть счастливый» или «Ни один преступный не есть счастливый», то это общие предложения, первое предложе- н и е — общеутвердительное, второе — общеотрицательное. Но если я скажу: «Некоторый преступный есть богатый», «Некоторый благочестивый не есть богатый», то это частные предложения, первое — утвердительное, второе — отрицательное. Теперь я перехожу к числам, которыми должны выражаться термины, и приведу соответствующие правила или определения.

(I) Если мы возьмем какое-либо предложение, то вместо каждого его термина, будь то субъект или предикат, будем писать два числа, одно — отмеченное знаком плюс (+), другое — знаком минус (—). Например, пусть предложение будет: «Всякий мудрый есть благочестивый». Число, соответствующее «мудрому», будет + 2 0 —21 \ число, соответствующее «благочестивому», будет + 10 — 3. Я буду в дальнейшем называть их характеристическими числами каждого термина (притом произвольно взятыми). Нужно только, чтобы два числа одного и того же термина

числа +9 — 6 (из которых оба делятся на одно и то же число, а именно на 3), то такие числа были бы непригодны. Вместо чисел мы можем также воспользоваться буквами,, как в символическом анализе 2. Под буквами может пониматься любое число, отвечающее тем же условиям; например, если число «благочестивого» будет +а — bt при этом обязательно а и Ъ должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь общего делителя.

(II) Истинное общеутвердителъное предложение^ например:

Всякий мудрый есть благочестивый

есть такое, в котором любое характеристическое число субъекта (например, + 70 — 33) может точно,; т. е. без остатка, делиться на характеристическое число с тем же знаком, принадлежащее предикату (+ 70 на + 10 и

— 33 на — 3); так что, если + 70 разделить на + 10,> получится 7 без остатка, если — 33 разделить на — 3, получится 11 без остатка. И наоборот когда это не получаетсяг предложение ложно.

539