В) Метод доказательств и опровержений

Гамма.Я предлагаю принять цилиндр в качестве на­стоящего контрапримера для рассматриваемой теоремы. Я изобретаю новую лемму (или леммы), которая этим примером опровергается, и добавляю эту лемму (леммы) к первоначальному списку. Это как раз и делал Альфа. Но, вместо того чтобы «скрывать» их так, чтобы онисдела­лисьскрытыми, я возвещаю их публично.

Теперь цилиндр, ставивший ранее в тупик,— опасный глобальный, а не локальный контрапример (третьего типа) по отношению к старому анализу доказательства и соот­ветствующей старой теореме, этот цилиндр станет безопас­ным глобальным и одновременно локальным контрапримером (второго типа) по отношению к новому ана­лизу доказательства и соответствующей новой теореме.

Альфа думал, что его классификация контрапримеров была абсолютной; в действительности же она относилась только к его анализу доказательства. По мере роста ана­лиза доказательства контрапримеры третьего типа превра­щаются в контрапримеры второго типа.

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства будет «строгим», или «имеющим силу», и соответствующая мате­матическая теорема — истинной тогда и только тогда, если не будет для них контрапримеров третьего типа. Я назы­ваю этот критерийпринципом обратной пере­дачи ложности, так как он требует, чтобы глобаль­ные контрапримеры были также локальными: ложность должна быть передана обратно от интуитивной догадки к леммам, от последующей части теоремы к предшествую­щей. Если какой-нибудь глобальный, но не локальный контрапример нарушает этот принцип, мы восстанавливаем его добавлением к анализу доказательства подходящей леммы. Таким образом, принцип обратной передачи лож­ности являетсярегулятивным принципомдля анализа доказательстваinstatunascendi(в сстоянии зарождения), а глобальный, но не локальный контрапример — ферментом в росте ана­лиза доказательства.

Гамма. Вспомните, раньше, даже не найдя ни од­ного опровержения, мы все же сумели обнаружить три по­дозрительные леммы и продвинуться в анализе доказа­тельства!

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства может начинаться не только под давлением глобальных контрапримеров, но также и когда люди уже выучились остере­гаться «убедительных» доказательств⁷⁶.

В первом случаевсе глобальные контрапримеры появляются в виде контрапримеров третьего типа и все леммы начинают свою карьеру в качестве «скрытых лемм». Они приводят нас к постепенному построению анализа доказательства и так один за другим превращаются в кон­трапримеры второго типа.

Во втором случае— когда мы уже начинаем подозревать и ищем опровержений,— мы можем прийти к далеко зашедшему вперед анализу доказательства без всяких контрапримеров. Тогда мы имеем две возможности.Первая возможностьсостоит в том, что нам при помощи локальных контрапримеровудастся опро­вергнутьвсе леммы, содержащиеся в нашем анализе доказательства. Мы можем установить, как следует, что они будут также глобальными контрапримерами.

Альфа. Вот именно так я и открыл раму картины: я искал многогранник, который после удаления одной гра­ни не мог быть развернут в один лист на плоскости.

Сигма. Тогда не только опровержения действуют как ферменты для анализа доказательства, но и анализ дока­зательства может действовать как фермент для опроверже­ния. Какой нехороший союз между кажущимися врагами!

Ламбда. Это верно. Если догадка кажется вполне допустимой или даже самоочевидной, то должно доказать ее; может оказаться, что она основана на весьма софисти­ческих и сомнительных леммах. Опровержение лемм мо­жет привести к какому-нибудь неожиданному опроверже­нию первоначальной догадки.

Сигма. К опровержениям, порожденным доказатель­ством!

Гамма. Тогда «мощь логического доказательства за­ключается не в том, что оно принуждает верить, а в том, что оно наводит на сомнения»⁷⁷.

Ламбда. Но позвольте мне вернуться ко второй возможности: когда мы не находим никаких локаль­ных контрапримеров для подозреваемых лемм.

Сигма.То есть когда опровержения не помогают ана­лизу доказательства. Что же тогда может случиться?

Ламбда. Мы тогда окажемся общепризнанными чу­даками. Доказательство приобретает абсолютную респек­табельность и леммы сбросят всякое подозрение. Наш ана­лиз доказательства скоро будет забыт⁷⁸. Без опровержений нельзя поддерживать подозрение; прожектор подозрения скоро выключается, если контрапример не усиливает его, направляя яркий свет опровержения на пренебреженный аспект доказательства, который остался незамеченным в сумерках «тривиальной истины».

Все это показывает, что мы не можем поместить дока­зательство и опровержение на отдельные полочки. Вот почему я предлагаю наш «метод включения лемм» перекрестить в «метод доказательств и опровержений». Позвольте мне выразить его основ­ные черты в трех эвристических правилах.

Правило 1.Если вы имеете какую-нибудь догадку, то попробуйте доказать ее и опровергнуть ее. Тщательно рассмотрите доказательство, чтобы приготовить список не­тривиальных лемм (анализ доказательства); найдите кон­трапримеры и для догадки (глобальные контрапримеры) и для подозрительных лемм (локальные контрапримеры).

Правило 2. Если у вас есть глобальный контрапри­мер, то устраните вашу догадку, добавьте к вашему анали­зу доказательства подходящую лемму, которая будет опро­вергнута им, и замените устраненную догадку исправлен­ной, которая включила бы эту лемму как условие⁷⁹. Не позволяйте отбрасывать опровержения как монстры⁸⁰. Сде­лайте явными все «скрытые леммы»⁸¹.

Правило 3.Если у вас есть локальный контрапри­мер, то проверьте его, не будет ли он также глобальным контрапримером. Если он будет им, то вы можете легко применить правило 2.