- •И.Лакатос
- •1. Задача и догадка
- •2. Доказательство
- •3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными
- •4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров
- •А) Отбрасывание догадки. Метод сдачи
- •Б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров
- •В) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра
- •Г) Метод исправления монстров
- •Д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки
- •5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости. А) Устранение монстров в защиту теоремы
- •Б) Скрытые леммы
- •В) Метод доказательств и опровержений
- •Г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства
- •Замечание.
- •6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах
- •Б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям
- •В) Различные доказательства дают различные теоремы
- •7. Проблема пересмотра содержания а) «Наивность» наивной догадки
- •Б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений
- •В) Дедуктивная догадка против наивной догадки
- •Г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания
- •Д) Логические контрапримеры против эвристических
- •8. Образование понятий а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения
- •Б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной.
- •В) Пересмотр логических и эвристических опровержений
- •Г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом
- •Д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения
- •9. Как критика может математическую истину превратить в логическую а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину
- •Б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую
- •Литература
Б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений
Сигма. Дзета прав. Какое несчастье!
Дзета. Несчастье?
Сигма. Да. Вы теперь хотите ввести новую «наивную догадку» о соотношении междуV, Е иFдля любого многогранника, не правда ли? Невозможно! Взгляните на большую толпу контрапримеров. Многогранники с полостями, многогранники с кольцеобразными гранями, с туннелями, сросшиеся друг с другом в ребрах, в вершинах...V—E+Fможет принять вообще любое значение. Вы, пожалуй, не сумеете разглядеть в этом хаосе какой-нибудь порядок! Твердую почву эйлеровых многогранников мы покинули для болота! Мы невозвратно потеряли наивную догадку и не имеем надежды получить другую!
Дзета. Но...
Бета. А почему нет? Вспомните кажущийся безнадежным хаос в нашей таблице чисел вершин, ребер и граней даже у самых обыкновенных многогранников.
|
|
Многогранники |
F |
V |
E |
|
1. |
Куб |
6 |
8 |
12 |
|
2. |
Треугольная призма |
5 |
6 |
9 |
|
3. |
Пятиугольная призма |
7 |
10 |
15 |
|
4. |
Четырехугольная пирамида |
5 |
5 |
8 |
|
5. |
Треугольная пирамида |
4 |
4 |
6 |
|
6. |
Пятиугольная пирамида |
6 |
6 |
10 |
|
7. |
Октаэдр |
8 |
8 |
12 |
|
8. |
«Башня» |
9 |
9 |
16 |
|
9. |
Усеченный куб |
7 |
10 |
15 |
Мы столько раз не могли .подобрать для них формулу118.Но потом внезапно нас поразил настоящий закон, управляющий ими:
V-E+F = 2.
Каппа(в сторону). «Настоящий закон»? Странное название для полнейшей ложности.
Бета. Все, что мы должны теперь сделать, это дополнить нашу таблицу новыми данными для неэйлеровых многогранников и поискать новую формулу: при наличии терпеливого прилежного наблюдения и некоторого счастья мы попадем на правильную формулу; затем мы можем снова ее улучшить, применяя метод доказательств и опровержений!
Дзета. Терпеливое, прилежное наблюдение? Пробовать одну формулу за другой? Может быть, вы придумаете гадательную машину, которая будет давать вам случайные формулы и пробовать их на вашей таблице? Неужели вы так думаете о прогрессе науки?
Бета. Не понимаю вашего гнева. Ведь вы, конечно, согласитесь, что начало нашего знания, наши наивные догадки могут прийти только после прилежного наблюдения и внезапного прозрения, как бы много ни взял на себя наш критический метод «доказательств и опровержений», после того как мынайдемнаивную догадку? Любой дедуктивный метод должен начинаться с индуктивного основания!
Сигма. Ваш индуктивный метод никогда не принесет удачи. Мы пришли кF-E+F=2 только потому, что в нашей первоначальной таблице не было ни картинной рамы, ни морского ежа. Теперь же, когда этот исторический инцидент...
Каппа(в сторону) ... или благосклонное божественное руководство...
Сигма... более уже не существует, вы никогда не сможете из хаоса «индуцировать» порядок. Мы начали с долгого наблюдения и со счастливым прозрением — и потерпели поражение. Теперь вы предлагаете начать снова с еще более долгим наблюдением и с более счастливым прозрением. Даже если бы мы пришли к какой-нибудь новой наивной догадке — в чем я сомневаюсь — мы кончили бы только такой же путаницей.
Бета. Может быть, вы хотите совсем отказаться от исследования? Намнужноначать снова — прежде всего с некоторой новой наивной догадки, а затем снова пройти через метод доказательств и опровержений.
Дзета. Нет, Бета. Я согласен с Сигмой, поэтому и не начну опять с новой наивной догадки.
Бета. Тогда с чего же вы хотитеначать, если не с индуктивного обобщения на низшем уровне в качестве наивной догадки? Или у вас есть какой-нибудь другой метод для начала?