Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Философия науки / Лакатос / Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы.doc
Скачиваний:
49
Добавлен:
24.07.2017
Размер:
842.75 Кб
Скачать

1. Задача и догадка

Диалог происходит в воображаемой классной комнате. Класс заинтересовался задачей: существует ли соотно­шение между числомVвершин, числом Е ребер и, нако­нец, числомFграней многогранника — в частности,пра­вильного многогранника— аналогично триви­альному соотношению между числами вершин и сторонмногоугольников, а именно: что существует столь­ко же сторон, сколько и вершин:V= Е? Последнее соот­ношение позволяет классифицироватьмногоуголь­никипо числу сторон (или вершин): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. Аналогичное соотношение поможет классификациимногогранни­ков.

После большого количества испытаний и ошибок класс замечает, что для всех правильных многогранников V-E+F=211.

Кто-то высказывает догадку, что это может быть приложимым к любому многограннику. Другие пытаются оспорить эту догадку, испытать ее многими разными спо­собами — она выдерживает хорошо. Этот результатпод­крепляетдогадку и наводит на мысль, что она может быть доказана. В этот момент — после стадий поста­новкизадачиидогадок — мы входим в классную комнату12. Учитель как раз готовится датьдоказа­тельство.

2. Доказательство

Учитель.На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранниковV— Е +F= 2, гдеV— число вер­шин, Е — число ребер иF— число граней. Мы испытали ее различными способами. Но мы пока еще не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?

Ученик Сигма. Я со своей стороны должен со­знаться, что пока еще не придумал строгого доказатель­ства этой теоремы... Однако истинность ее была установ­лена в очень многих случаях, и не может быть сомнения, что она справедлива для любого тела. Таким образом, это предложение, по-видимому, доказано вполне удовлетвори­тельно13. Но если у вас есть доказательство, то, пожа­луйста, дайте его.

Учитель.Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте.Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, ноV, Е иFне изме­нятся, так что если и только еслиV— Е +F= 2 для пер­воначального многогранника, тоV— Е +F— 1 для этой плоской сети — вспомните, что мы одну грань удалили. (На рис. 1 показана такая сеть для куба.)Второй шаг. Теперь мы стриангулируем нашу карту — она дей­ствительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые еще не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем иEиFна единицу, так что суммаV— Е +Fне изменится (рис. 2).

Рис. 3

Третий шаг.Теперь будем вынимать из триангулиро­ванной сети треугольники один за другим. Вынимая тре­угольник, мы или вынимаем ребро, причем исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3, б). Таким образом, еслиV— Е +F= 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получа­ем один треугольник. Для негоV— Е +F= 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу до­гадку14.

Ученик Дельта.Вы должны назвать это теперьтеоремой. Теперь здесь уже нет ничего из области дога­док15.

Ученик Альфа.Не знаю. Я вижу, что этот экспе­римент можно выполнить с кубом или с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести слюбыммного­гранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, чтовсякий многогранник после устранения одной гра­ни может быть развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага.

Ученик Бета. Уверены ли вы, чтопри триан­гулировании карты вы всегда получите но­вую грань для любого нового ребра?У меня есть сомнения относительно вашего второго шага.

Ученик Гамма.Уверены ли вы, чтокогда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получатся только две альтерна­тивы — исчезновение одного ребра или же двух ребер и одной вершины?Уверены ли вы также, чтов конце процесса останетесь только с одним треугольником?У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага16.

Учитель.Конечно, я не уверен.

Альфа.Но ведь это еще хуже, чем раньше. Вместо одной догадки, мы теперь имеем по меньшей мере три! И вы называете это «доказательством»!

Учитель.Я допускаю, что традиционное название «доказательство» для этого мысленного эксперимента, по­жалуй, не совсем подходит. Я не думаю, что этот экспери­мент устанавливает истинность догадки.

Дельта.Ну а что же он тогда делает? Что же, по-вашему, доказывает математическое доказательство?

Учитель.Это тонкий вопрос, на который мы по­пытаемся ответить позже. До тех пор я предлагаю сохра­нить освященный временем технический термин «доказа­тельство»для мысленного эксперимента, или квазиэксперимента, который предлагает разложение первоначальной догадки на вспомогательные догадки или леммы, та­ким образомвпутывая ее, может быть, в совершенно далекую область знания. Например, наше «дока­зательство» в первоначальную догадку — о кристаллах, или, скажем, о твердых телах — включило теорию рези­новых листов. Декарт или Эйлер, отцы первоначальной догадки, наверняка ни о чем подобном не думали17.